渐近线性Caffarelli-Kohn-Nirenberg方程的多解研究

"这篇论文由宣本金撰写，探讨了带渐近线性项的Caffarelli-Kohn-Nirenberg型方程的多解性问题。在无限远处，该方程具有渐近线性特性，这导致传统的Ambrosetti-Rabinowitz型条件不适用，使得经典的能量守恒（PS）条件难以验证。为了克服这一难题，作者利用了Cerami条件的一个等价版本，从而能够得出更广泛的多解存在性结果。论文的关键词包括Caffarelli-Kohn-Nirenberg型方程、渐近线性、Ambrosetti-Rabinowitz型条件以及Cerami条件，数学分类号为35J60。" 正文: 在数学领域，Caffarelli-Kohn-Nirenberg型方程是偏微分方程中的一个重要类型，通常用于描述各种物理现象，如流体力学、电磁学等。这类方程的形式通常为一个拉普拉斯算子或其变种与非线性项的组合。在本文中，研究的是一个在无穷远处具有渐近线性特性的Caffarelli-Kohn-Nirenberg型方程： \[ -\text{div}(|x|^{-a}|Du|^{p-2}Du) = |x|^{-(a+1)p + c}f(u), \quad \text{在} \Omega \] \[ u = 0, \quad \text{在} \partial \Omega \] 其中，\( \Omega \subset \mathbb{R}^n \) 是一个开集，\( p \) 表示幂指数，\( a \) 是一个实数，\( Du \) 是函数 \( u \) 的梯度，\( f(u) \) 是依赖于 \( u \) 的非线性项，\( c \) 是一个常数。方程的边界条件规定函数 \( u \) 在 \( \Omega \) 的边界上为零。 在处理这类问题时，通常会利用Pohozaev身份或能量守恒（Palais-Smale, PS）条件来证明解的存在性。然而，在这种渐近线性的情形下，传统的Ambrosetti-Rabinowitz条件不成立，即不存在一个常数 \( \mu > 0 \)，使得非线性项 \( f(t)tf'(t) \) 在 \( t \) 趋向于无穷大时保持有限。这就导致了使用经典方法来寻找解的困难。 为了解决这个问题，作者采用了一个等价的Cerami条件。Cerami条件是另一种形式的能量守恒条件，它在某些非标准情况下更为适用。它要求任何满足一定条件的序列在能量空间中要么收敛，要么有一个子序列趋近于无穷。通过这个条件，作者能够证明在特定条件下，方程 (1.1) 存在多个解，即使传统的工具失效。 这项工作对理解非线性偏微分方程的多解性质以及在物理和工程领域的应用有着重要的理论意义。它展示了如何在传统方法无法应用的情况下，通过引入新的分析技巧来推进问题的研究。此外，论文的关键词强调了这个研究领域的主要研究焦点，包括非线性方程的渐近行为、特殊条件的替代以及寻找解的新方法。