连续时间系统的s域分析：零极点分布与系统稳定性

"上海交大 信号与系统 齐开悦 教授课程 PPT：通过系统函数的零、极点分布分析连续时间系统的时域特性" 在信号与系统的研究中，连续时间系统的s域分析是一种重要的分析方法。本节主要讨论的是如何利用系统函数的零、极点分布来决定系统的时域特性。系统函数，通常表示为H(s)，是通过Laplace变换建立的，它将输入信号X(s)和输出信号Y(s)之间的关系表达为Y(s) = H(s) * X(s)。这里的星号代表卷积运算。 系统函数H(s)的拉普拉斯变换H(s)是系统在复频域中的表现，它的零点和极点分布对系统的时域响应有着决定性的影响。如果一个系统的ROC（收敛域）包含了虚轴s=jω，那么根据s=jω代入H(s)的性质，我们可以进行傅里叶分析，得到系统的频率响应H(jω)，它是系统对不同频率输入信号的响应。 系统的稳定性是通过检查系统函数的极点位置来判断的。一个因果稳定的LTI系统，其所有的极点必须位于s平面的左半平面。这是因为稳定的系统要求其单位阶跃响应随着时间趋于无穷大时趋于零，这在数学上对应于极点位于负实轴的情况。如果系统函数H(s)的ROC包含虚轴，那么系统是因果的，即输出只依赖于过去的输入。 例如，一个系统的系统函数为H(s) = (s+2)/(s^2 + 3s + 2)，可以通过分析其极点s=-1和s=-2得知，这两个极点都在s平面的左半平面，因此系统是稳定的。ROC的确定通常是基于最右边极点的位置，如果ROC包含了虚轴，那么系统同时满足因果性和稳定性条件。 此外，信号的类型（如右、左、双边信号）也会影响系统函数的ROC和稳定性分析。对于右两边信号，其Laplace变换的ROC在正实轴右侧；对于左两边信号，ROC在负实轴右侧；而双边信号的ROC则包括整个实轴。这些不同的ROC对应着不同的信号特性，并影响着系统响应的计算。 总结来说，通过系统函数的零点和极点分布，我们可以深入理解连续时间系统的时域特性，包括其稳定性、频率响应以及对不同信号类型的处理能力。这种分析方法在工程和科学领域，尤其是在信号处理和控制系统设计中，具有广泛的应用价值。