邻接矩阵详解：无向图与有向图在数据结构中的表示与应用

本篇文章主要介绍了图的邻接矩阵表示法以及图的基本概念和应用。图是一种数据结构，由顶点（Vertex）集合V和边（Edge）集合E组成，用于描述元素之间的关系。文章首先定义了图的两种类型：无向图和有向图。 无向图的特点是，如果顶点a和b之间存在边，那么b和a之间也必然存在边，边没有方向性，通常用不带箭头的线表示。例如，给定的无向图V={1,2,3,4,5}，边E={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,5),(3,5),(4,5)}，每个顶点的度（Degree）是与其相连边的数量，如D(2)=3。 有向图则允许边的方向性，比如边<1,2>表示从1指向2，而<2,1>可能是不存在的。在有向图中，入度（In-degree）指进入顶点的边的数量，而出度（Out-degree）指离开顶点的边的数量，如在图例中的ID(3)=2和OD(3)=1。 图的存储结构中，邻接矩阵是一个二维数组，用于表示顶点之间的连接情况。对于无向图，邻接矩阵是对称的，即a[i,j]=1表示顶点i和j之间有边；而对于有向图，只有当(i, j)在E中时，a[i,j]=1（或者存储边的权值）。无向图中所有顶点的度数总和是边数的两倍，而在完全图中，每对不同的顶点之间都有一条边。 路径（Path）是图中两个顶点之间的连接序列，简单路径不包含重复的顶点，回路则是从一个顶点出发，最终回到该顶点且至少包含一条边的路径。例如，在图1中，(1,2,3,5)是一个长度为3的简单路径，而图2的(1,2,5,4)是一个长度为3的回路。 文章后续还可能涉及图的遍历方法（如深度优先搜索和广度优先搜索）、无向图的传递闭包、最短路径算法（如Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法）、最小生成树（如Prim算法或Kruskal算法）以及拓扑排序等高级主题。这些都是图论在计算机科学中广泛应用的基础，对理解和处理复杂网络结构非常关键。