三维空间中的坐标变换：点乘与叉乘的应用

"根据矢量的点乘与叉乘可以算出:三维坐标变换" 在三维计算机图形学中，矢量的点乘和叉乘是两种基础运算，它们在进行三维坐标变换时扮演着重要角色。点乘主要用来计算两个向量之间的角度以及规范化向量，而叉乘则用于生成一个新的向量，该向量垂直于原来的两个向量。这两种运算在描述和执行如平移、旋转、缩放等三维变换时必不可少。 三维变换涉及到将空间中的点和对象从一个坐标系转换到另一个坐标系。在三维空间中，有三种基本的几何变换：平移、比例和旋转。 7.1简介提到了，三维平移变换和比例变换可以直接从二维情况推广，但旋转变换由于可以沿任意方向进行，所以更为复杂。为了处理这些变换，通常采用齐次坐标系统，这是一种扩展的坐标表示方法，允许用4x4的矩阵来描述包括平移在内的各种变换，并能方便地进行复合变换。 7.2三维几何变换详细介绍了三种基本的变换类型： 1. 平移变换：通过添加一个平移向量(tx, ty, tz)来移动空间中的点。例如，点P(x, y, z)经过平移后变为P'(x+tx, y+ty, z+tz)。这种变换在矩阵形式中体现为一个4x4的单位矩阵加上一个平移向量组成的列矩阵。 2. 比例变换：可以改变点的大小，分为两种情况：(1) 相对于坐标原点的比例变换，所有点的坐标都乘以一个标量s；(2) 相对于固定点的比例变换，变换后保持该固定点不变，其他点相对于这个固定点放大或缩小。 3. 绕坐标轴的旋转变换：在三维空间中，旋转不仅需要旋转角度，还需要知道旋转轴。旋转可以通过欧拉角或者四元数来表示，四元数能更有效地避免万向节死锁问题。旋转矩阵是3x3的，但结合平移后，也需要使用4x4的变换矩阵。 在实际应用中，这些基本变换可以组合使用，比如在游戏开发、动画制作和虚拟现实等领域，通过组合平移、旋转和缩放，可以实现复杂的物体运动和场景布局。同时，这些变换也广泛应用于图形渲染、图像处理和计算机视觉算法中，是理解三维图形学的关键概念。