有限单元法分析：对角线元素改1，同行同列其他元素改0

"有限单元法课件，讲解如何在有限单元法分析中处理对角线元素及同行同列其他元素的修改，强调了结构离散、位移模式、单元特性分析、整体刚度矩阵构建以及程序设计与常用软件的相关内容。" 在有限单元法（Finite Element Method, FEM）中，进行结构分析时，常常需要对整体刚度矩阵进行特定的处理。标题提到的"对角线元素改1，同行同列其他元素改0"这一操作，通常是在处理已知边界条件的情况下进行的。如果第r个位移分量是已知的固定值，我们会在整体刚度矩阵的第r行第r列的主对角线元素设为1，而同一行和同一列的其他所有元素设为0。这样做的目的是为了在解线性方程组时，确保该结点的位移符合已知的边界条件。 具体来说，整体刚度矩阵 \( K \) 会根据以下方式调整： - 第r行第r列的元素 \( K_{rr} \) 被设置为1。 - 第r行的其他元素 \( K_{ri}, i \neq r \) 设置为0。 - 第r列的其他元素 \( K_{ir}, i \neq r \) 也设置为0。 同时，荷载向量 \( P \) 中的第r个元素被设置为已知的外部作用力 \( p_r \)，而其他元素则减去对应结点位移和原刚度矩阵这行元素的乘积。 有限单元法的分析过程包括以下几个主要步骤： 1. **结构离散**：将连续的结构体划分为多个有限单元，单元的大小和数量取决于所需的计算精度和计算资源。每个单元都有自己的节点，这些节点连接形成整个结构的网格。 2. **位移模式**：确定每个单元内部任意点的位移与结点位移之间的关系，即位移模式。这通常通过形函数来实现，形函数描述了单元内任意点的位移如何依赖于结点位移。 3. **单元特性分析**：包括几何方程（应变与位移的关系）、物理方程（应力与应变的关系，基于胡克定律），以及通过虚功原理或最小势能原理建立单元刚度方程。 4. **整体方程组**：将所有单元的刚度方程组合成整体刚度矩阵，并考虑所有结点的平衡，包括直接结点荷载和等效结点荷载，形成一个大的线性方程组。 5. **求解与后处理**：最后，通过数值方法（如高斯消元法、迭代法等）求解这个方程组，得到结点位移，然后计算出单元和整体结构的应力、应变等结果。 在实际应用中，还有程序设计与常用的有限元软件，如ABAQUS、ANSYS、COMSOL等，它们提供了用户友好的界面和自动化流程，简化了有限单元法分析的复杂性，使得工程师和研究人员能够快速有效地分析各种结构问题。