最大流最小割：图论中的可行流算法

"本文主要介绍了如何寻找图论中的可行流，以及如何利用最大流最小切原理来解决网络流问题。具体方法是通过构建不含下界的网络流图，并通过一系列操作找到最大流。" 在图论中，最大流问题是研究网络中从一个源头到一个汇点能通过的最大流量。这个问题广泛应用于运输、通信网络等领域，如公路运输图中的物资输送。一个网络流图G=(V,E,C)由顶点集V、边集E和容量函数C构成，其中源点S和汇点T具有特殊的入度和出度。网络中的每条边或弧(vi, vj)都有一个非负的容量cij，表示这条边的最大允许流量。 可行流是网络流图中的关键概念，它满足三个条件：1) 每条弧的流量fij不能超过其容量cij；2) 中间点的流入流量等于流出流量，即流量平衡；3) 源点S的总流出流量等于汇点T的总流入流量，即V(f)。如果网络存在可行流，那么从S到T的物资传输是可能的。 最大流问题是寻找网络中从S到T的最大可能流量。为了找到最大流，可以采用最大流最小切的方法。首先，通过构造不含下界的网络流图G'，添加源点S'和汇点T'，并将原图的下界转化为上界。然后，在G'中求解最大流f'。如果f'中从S'发出的所有弧都不是饱和弧，那么原图不存在可行流。否则，可以通过f'加上原图的流量A得到一个可行流f，并通过寻找可改进路（即非饱和弧且反向弧流量大于零的路径）逐步增加f，直至达到最大流。 可改进路是提高现有流量的关键，它是从S到T的一条路径，其中包含至少一条非饱和弧和至少一条反向非零流弧。通过调整这些弧的流量，可以在不违反流量平衡和容量限制的前提下增加总的流量。 最小切是最大流问题中的另一个概念，它是指在网络中找到一个最小容量的割，即一组边，使得移除这组边后源点S无法到达汇点T。最小割的容量等于最大流的值，这是最大流最小切定理的核心内容。 解决最大流问题涉及到对网络结构的理解，构造新的图，寻找和改进可行流，以及确定最小割。这一过程在解决实际问题中具有重要应用，如优化资源配置、网络设计和运输计划等。