根轨迹分析法：分离点求取与系统性能

"根轨迹分析法是控制理论中的一个重要概念，用于分析系统参数变化时闭环系统特征根（闭环极点）的变化轨迹。这种方法由W.R.Evans在1948年提出，主要解决如何配置闭环极点以实现期望的系统性能以及参数变化对系统稳定性及动态性能的影响。在MATLAB等工具的支持下，可以通过根轨迹来直观地理解系统行为。" 根轨迹的基本概念： 根轨迹是控制系统理论中的一个关键概念，它描述了当系统开环增益K从0变化到无穷大时，闭环系统的特征根（闭环极点）在复平面上的移动路径。这一方法简化了解高阶系统特征方程的复杂性，使得系统性能分析变得更为直观。广义的根轨迹不仅限于开环增益K的变化，而是指系统中任何参数变化所导致的闭环极点轨迹。狭义的根轨迹则通常指的是开环增益K的变化。 绘制根轨迹的依据： 1. 根轨迹方程：由开环传递函数的分母和分子多项式构成，表示了K和s的关系。 2. 相角条件：为了确定根轨迹的具体路径，需要满足相角条件，即沿着根轨迹移动时，开环传递函数的幅值和相角保持恒定。 分离点的求取： 分离点是根轨迹从实轴进入或离开的点，可以使用两种方法求得： 1. 极值法：通过求导数dK*/ds=0找到K的可能值，这些值对应的s值可能是分离点。 2. 试探法：通过尝试不同的K值，观察闭环极点的运动，找到满足相角条件的点。 根轨迹分析系统的性能： 通过根轨迹分析，我们可以： 1. 判断系统的稳定性：查看根轨迹是否与虚轴有交点，无交点则系统绝对稳定。 2. 分析动态性能：根轨迹的形状和分布与系统的时间响应特性（如上升时间、超调量σ%、调节时间ts等）密切相关。 3. 设计系统参数：根据所需的动态性能指标，如σ%和ξ（阻尼比），可以反推出合适的K值和系统参数。 例如，在一个二阶系统中，通过观察根轨迹可以确定系统的阻尼状态，如过阻尼、临界阻尼和欠阻尼，并据此优化系统参数以获得期望的动态响应。 MATLAB在根轨迹分析中的应用： MATLAB提供了控制系统工具箱，支持绘制根轨迹图，帮助用户直观地分析根轨迹并进行系统设计。用户可以输入系统的传递函数，然后利用根轨迹绘图函数（如`rlocus`）生成根轨迹图形，从而便捷地进行系统性能评估和参数调整。 总结，根轨迹分析法是一种强大的工具，它使工程师能够深入理解系统动态行为，预测参数变化对系统性能的影响，并进行有效的系统设计和优化。在MATLAB等现代计算软件的支持下，根轨迹分析已成为控制系统设计过程中的常规步骤。