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收稿日期 :2004唱08唱21 ;修改稿收到日期 :2004唱11唱29畅
基金项目 :国家自然科学基金(10171078 )资助项目 畅
作者简介 :李 晨 (1980唱) ,女 ,博士 ;
吴雄华
倡
(1946唱) ,男 ,博士 ,教授 畅
第23卷第4期
2006 年 8 月
计 算 力 学 学 报
Chinese Journal of Computational Mechanics
Vol .23 ,No .4
August 2006
文章编号 :1007唱4708(2006)04唱0492唱04
微 分 求 积 区 域 分 裂 法 在 裂 缝 问 题 上 的 应 用
李 晨 , 吴雄华
倡
(同济大学 应用数学系 ,上海 200092)
摘 要 :微分求积法 DQM 在处理裂缝问题时 ,会产生很大的误差 。 因此 ,本文用微分求积法结合不带重叠的区域
分裂法 DQDDM 来求解 。 通过本文的讨论 ,可以看到 DQDDM 在处理裂缝问题时 ,在节点数目不多的条件下获得
比较精确的解 ,同时计算量又不大 。
关键词 :微分求积法(DQM ) ;区域分裂法(DDM ) ;微分求积区域分裂法 ;DQDDM ;边界归化
中图分类号 :O241 文献标识码 :A
1 引 言
微分 求 积 法 DQM (Differential Quadrature
Method)是由 Bellman 及其同事
[1]
在 20 世纪 70
年代初期提出的求解非线性偏微分方程的一种新
方法 。 自提出以来 ,DQM 已经被发展且成功地应
用到许多工程物理问题中去
[2唱8]
。 这个算法数学原
理简单 ,计算精度高 ,计算量小 ,使用方便 ,不依赖
泛函和变分原理 ,边界条件不必另外考虑 。 当问题
具有全局性光滑解时 ,DQM 因为其精度高的逼近
及只需较少的网格点而成为优于有限元和有限差
分的更佳选择 。 在最近的一份比较研究
[4]
中 ,我们
看到 DQM 在计算精度及计算量方面要明显优于
有限差分及有限元方法 。 微分求积法 DQM 在处
理裂缝问题时 ,会有困难 。 这是因为裂缝问题为间
断问题 ,用插值多项式来逼近间断问题误差大 。
区域 分 裂 法 DDM (Domain Decomposition
Method) 是 20 世 纪 60 年 代 由 德 国 数 学 家
H Schw arz为解复杂区域上的偏微分方程而提出
的 。 DDM 有许多优点 ,如区域分裂方式的任意
性 、区域分裂后物理问题的数学描述的多样性以及
问题求解方法的灵活性 ,因此它已成为大型科学计
算问题的算法设计的重要方法 。 DDM 使计算的
复杂性大大的减少了 ,同时也使 DQM 的有效性大
大的增加了 。 DDM 发展到今天 ,它已不再是一个
单纯的计算方法甚至一类计算方法 ,而是问题求解
一整过程的思想与方法的集成 。
边界元方法可以降维 ,即把一个二维问题化成
一个一维问题 。 但是传统的边界元方法依赖于问
题的基本解 ,对方程与求解区域有较高的要求 。 本
文引进数值边界归化技术把大区域上的二维问题
离散成拟边界点满足的线性代数方程组 ,极大地减
少了计算的工作量 ,且不依赖于基本解 。
本文是应用不带重叠的区域分裂法 DDM 结
合微分求积法 DQM ,引进分块矩阵技术来解决裂
缝问题 。 把一个较大的复杂区域分裂成若干个不
重叠的较小而简单的区域 ,然后在各子区域上求
解 ,可以方便地 、相当精确地求解裂缝问题 。 不带
重叠的区域分裂法的技术难点 :如何消去内点即边
界归化 (Boundary Reduction M ethod) ,把问题化
为仅含边界点的线代数方程组 ,关键是必须要把内
点用边界点来表示 ,故给出两个引理来解决这个问
题 。
2 微分求积法公式的构造
微分求积法的核心在于 ,函数对某一变量的偏
导数可以由此变量方向上的所有离散点处的函数
值加权来逼近 。 而其中的权系数不依赖于任何具
体问题 ,只与网格剖分有关(详见文献[2 ,3 ]) 。 这
里我们选用 Expanded唱Chebyshev 节 点
[7]
。 当问
题的解具有充分的光滑性时 ,用 DQ 方法来逼近真
解可以达到谱精度
[8]
。
3 两个引理
为了避免直接应用 DQM 到裂缝问题产生的
较大误差 ,本文采用了区域分裂法和边界归化的技