杭州电科大刘春英:ACM动态规划解题思路——直线交点数计算
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更新于2024-07-31
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动态规划是ACM程序设计中的一个重要概念,通常应用于优化问题求解,通过将原问题分解成子问题,并存储子问题的解来避免重复计算。在杭州电子科技大学刘春英教授的ACM课件中,第四讲的主题就是动态规划的入门讲解,特别关注了“计算直线的交点数”这一实际问题。
该问题描述了一个平面几何场景,有n条互不平行且无三线共点的直线,目标是找出这些直线可以产生多少种不同的交点数量。根据题目,当n最大时,最多交点数为n(n-1)/2,但这不是答案的关键,而是作为问题复杂性的基础。实际需求是寻找所有可能的交点组合。
教授引导学生通过递归和分治的思想来解决这个问题。首先,通过列举小规模情况(n=1,2,3),观察交点的变化规律。当添加第N条直线时,考虑其与其他直线的不同组合:
1. 第四条直线与所有其他直线平行:交点数为0。
2. 第四条直线与部分直线平行:例如n=4时,可能的交点数为3(与两条直线平行)、4(与一条直线平行,另一组内两直线相交)、5(与一条直线平行,另一组内两直线平行或相交)。
3. 第四条直线不与任何直线平行:可能交点数为3(与三组各一条直线相交)、5(类似上一种情况,但多一个交点),或6(所有可能的交点组合)。
关键在于理解如何用递推公式来表示这种情况。数塔问题(Tower of Hanoi)在这里起到了启示作用,它展示了如何通过分组和合并子问题来构建动态规划的解法。在这个例子中,总交点方案数可以表示为:
- 对于m条直线,分为m-r条与r条直线,交点数由两部分组成:(m-r)与r条直线的交叉交点数,以及r条直线自身可能的交点数。
- 具体计算公式为:交点方案数 = (m-r)*r + r组内自身的交点方案数,其中0<=r<m。
通过这个过程,学生学会了如何利用动态规划的策略,将复杂的问题转化为递增的子问题,从而有效地解决交点数计数问题。这不仅锻炼了解决复杂算法问题的能力,也展示了动态规划在优化求解中的强大实用性。
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太狠太残忍
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