EM算法详解：边际分布列与极大似然估计

边际分布列是机器学习中的一个重要概念，在EM算法（期望最大化）中起着关键作用。EM算法是一种迭代优化方法，用于在存在隐含变量的数据集中找到参数的最大似然估计。该算法特别适用于那些难以直接估计参数的复杂模型，因为它们依赖于无法观测的隐藏变量。 在EM算法中，核心概念包括似然函数和极大似然估计。似然函数L(θ|x)表示给定参数θ条件下观察到样本数据x的概率，最大似然估计的目标就是找到能使似然函数最大化的θ值。由于隐含变量的存在，直接求解可能很困难，EM算法通过一个迭代过程来逼近这个最优解。 在EM算法的具体步骤中，首先，定义似然函数并利用Jensen不等式，这是一个关于凸函数的重要性质。Jensen不等式表明，对于一个凸函数，其算术平均值不会低于函数在这些点上的实际函数值的平均，即在凸函数上，函数的期望值总是小于或等于函数在期望值处的函数值。这对于理解EM算法的收敛性至关重要。 边际分布列，即marginal likelihood distribution，指的是在给定观测数据的情况下，隐藏变量的分布。在EM算法中，通过对似然函数进行处理，我们可以通过计算隐含变量的条件分布来推断出边际分布列，即使这些变量本身并未直接观测到。这一步骤有助于我们在每次迭代中更新对隐藏变量的估计，进而优化参数θ。 在每一次EM迭代中，我们先基于当前参数估计计算出隐含变量的条件期望（E-step），然后用这些期望值来重新估计参数（M-step）。这个过程不断重复，直到达到某个停止准则或者达到预设的迭代次数，从而找到最大似然估计的近似解。 边际分布列在EM算法中扮演了桥梁角色，连接了观测数据和隐含变量，使得算法能够有效地处理复杂的概率模型，寻找最优参数估计。理解和掌握这一概念对于深入理解EM算法的工作原理及其应用至关重要。