EM算法解析：从似然函数到Jensen不等式

"Jensen不等式-机器学习之EM算法" 在机器学习中，EM（期望最大化）算法是一种用于处理含有隐含变量的概率模型参数估计的迭代方法。它旨在找到模型参数的最大似然估计，即使在无法直接观测到所有数据的情况下。EM算法包括两个主要步骤：E（期望）步骤和M（最大化）步骤。E步骤计算在当前参数估计下的隐含变量的后验概率，而M步骤则通过最大化考虑了这些后验概率的似然函数来更新参数。 似然函数与极大似然估计是EM算法的基础。似然函数表示给定一组观察数据，参数的可能性，而极大似然估计则是寻找使似然函数最大的参数值。在统计学中，似然函数通常表示为L(θ|x)，其中θ是参数向量，x是观测数据。对数似然函数ln(L(θ|x))被广泛使用，因为其在求极大值时更便于操作，并且可以避免数值上的不稳定。 Jensen不等式在EM算法中有重要作用，特别是在M步骤中。Jensen不等式指出，如果f(x)是一个凸函数，那么对于任意随机变量X和任意概率分布P，有以下关系： E[f(X)] ≥ f(E[X]) 这里的E[]代表期望值。当f(x)是凹函数时，不等号的方向会反转。在EM算法中，这个不等式用于保证每次参数更新后，对数似然函数的期望值不会减少，从而确保算法的单调性。在M步骤中，我们通常会寻找对数似然函数的期望值的最大值，这正是Jensen不等式应用的地方。 数学期望的相关定理也在此过程中发挥关键作用，它们帮助我们理解和操作期望值，尤其是在涉及随机变量和复杂概率分布的计算时。边际分布列则是处理包含多个变量的联合概率分布时，对其中一个或多个变量进行积分或求和得到的单个变量的概率分布。 EM算法的整个过程可以总结为：首先初始化参数，然后重复E和M步骤，直到参数收敛或者达到预设的迭代次数。在每一轮迭代中，E步骤计算期望值以得到隐含变量的条件期望，M步骤则利用这些期望值来更新模型参数，从而提高似然函数的值。通过这种方式，EM算法能够在有隐含变量的情况下有效地估计模型参数，广泛应用于混合高斯模型、隐马尔科夫模型等众多机器学习和统计建模场景。