EM算法解析:从似然函数到Jensen不等式
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更新于2024-08-13
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"Jensen不等式-机器学习之EM算法"
在机器学习中,EM(期望最大化)算法是一种用于处理含有隐含变量的概率模型参数估计的迭代方法。它旨在找到模型参数的最大似然估计,即使在无法直接观测到所有数据的情况下。EM算法包括两个主要步骤:E(期望)步骤和M(最大化)步骤。E步骤计算在当前参数估计下的隐含变量的后验概率,而M步骤则通过最大化考虑了这些后验概率的似然函数来更新参数。
似然函数与极大似然估计是EM算法的基础。似然函数表示给定一组观察数据,参数的可能性,而极大似然估计则是寻找使似然函数最大的参数值。在统计学中,似然函数通常表示为L(θ|x),其中θ是参数向量,x是观测数据。对数似然函数ln(L(θ|x))被广泛使用,因为其在求极大值时更便于操作,并且可以避免数值上的不稳定。
Jensen不等式在EM算法中有重要作用,特别是在M步骤中。Jensen不等式指出,如果f(x)是一个凸函数,那么对于任意随机变量X和任意概率分布P,有以下关系:
E[f(X)] ≥ f(E[X])
这里的E[]代表期望值。当f(x)是凹函数时,不等号的方向会反转。在EM算法中,这个不等式用于保证每次参数更新后,对数似然函数的期望值不会减少,从而确保算法的单调性。在M步骤中,我们通常会寻找对数似然函数的期望值的最大值,这正是Jensen不等式应用的地方。
数学期望的相关定理也在此过程中发挥关键作用,它们帮助我们理解和操作期望值,尤其是在涉及随机变量和复杂概率分布的计算时。边际分布列则是处理包含多个变量的联合概率分布时,对其中一个或多个变量进行积分或求和得到的单个变量的概率分布。
EM算法的整个过程可以总结为:首先初始化参数,然后重复E和M步骤,直到参数收敛或者达到预设的迭代次数。在每一轮迭代中,E步骤计算期望值以得到隐含变量的条件期望,M步骤则利用这些期望值来更新模型参数,从而提高似然函数的值。通过这种方式,EM算法能够在有隐含变量的情况下有效地估计模型参数,广泛应用于混合高斯模型、隐马尔科夫模型等众多机器学习和统计建模场景。
2022-08-04 上传
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小婉青青
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