EM算法详解：利用Jensen不等式求最优参数估计

"本文主要探讨了EM算法（Expectation-Maximization，期望最大化）在机器学习中的应用，基于Jensen不等式来理解其核心原理。EM算法是一种迭代优化方法，用于处理含有隐含变量的数据集，以找到最大似然估计的参数。文章首先介绍了似然函数的概念，指出它是样本数据在给定参数下的概率分布，目标是通过最大化似然函数来估计模型参数。 在极大似然估计中，我们试图在给定数据条件下找到参数值，使得样本数据出现的概率最大。然而，由于隐含变量的存在，直接求解可能困难。EM算法通过迭代的方式解决了这个问题，分为两个步骤：E步（Expectation）和M步（Maximization）。E步计算当前参数下的隐含变量的期望值，而M步则利用这些期望值更新参数，以使得似然函数增加。 文章引用Jensen不等式来阐述这一过程。Jensen不等式指出，对于一个凸函数，其期望值总是小于或等于函数本身，但只有在函数是线性时才相等。在EM算法中，通过应用Jensen不等式，可以保证在每次迭代中，虽然无法直接优化难以直接计算的联合概率，但通过局部最优的估计，可以逐步接近全局最优解。 文章还提到，通过对数化似然函数可以使问题更便于处理，因为对数函数通常更容易分析。具体来说，通过对数似然函数的极大化，可以转化为关于参数的梯度上升问题，使得算法更容易实现。此外，文章强调了凸函数和凹函数在Jensen不等式中的角色，以及它们在确定极大似然估计过程中的作用。 本文深入剖析了EM算法的数学基础，特别是如何结合Jensen不等式来优化模型参数，这对于理解和应用EM算法在实际的机器学习任务中至关重要。"