共轭梯度法：提高无约束优化算法的收敛速度

资源摘要信息:"无约束优化算法之共轭梯度法.zip" 共轭梯度法是一种迭代求解无约束优化问题的算法，适用于大规模稀疏系统，尤其在求解线性方程组和优化问题中有着广泛的应用。该算法的主要特点是不需要存储矩阵和直接计算矩阵的逆，因此在求解大型问题时能够节省内存空间和计算时间。 在无约束优化问题中，目标函数通常具有形式 f(x)，其中x是一个向量，我们的目标是找到一个x*，使得f(x*)是全局最小值。梯度法是最简单的优化方法之一，通过沿着目标函数梯度的反方向进行搜索以找到最优解。然而，梯度法在多维空间中可能会遇到锯齿现象（zig-zagging），即在迭代过程中会不断地在某个方向上来回摆动，这极大地影响了其收敛速度。 为了克服梯度法的锯齿现象并提高收敛速度，共轭梯度法应运而生。共轭梯度法的基本思想是构造一组共轭方向，这组方向相对于问题的二次逼近是共轭的。在共轭梯度法中，每一步迭代不需要计算整个Hessian矩阵，而是在每一步产生一个新的搜索方向，该方向与之前的搜索方向共轭。这种方法避免了矩阵的存储和求逆，特别适合于大规模问题。 共轭梯度法在每一次迭代中，首先确定当前最优的下降方向，然后通过线搜索找到最佳步长，最后更新解向量。算法的核心在于，每一步的搜索方向不仅与当前梯度共轭，而且还与之前的所有搜索方向共轭。这一性质确保了算法不会在已经搜索过的子空间中重复搜索，从而加快了收敛速度。 共轭梯度法在matlab中的实现通常涉及几个关键步骤： 1. 初始化：选择一个初始点x0，计算初始梯度g0以及初始搜索方向d0。通常d0与g0相反。 2. 线搜索：通过线搜索确定最佳步长α，即找到满足Wolfe条件的αk，以确保在下降方向上足够快的下降而不牺牲太多的一致性。 3. 更新：根据步长αk和搜索方向d_k更新当前点x_{k+1}。 4. 检查收敛性：判断当前点是否满足预定的收敛条件，如梯度的大小或函数值的变化是否足够小。 5. 计算新的共轭方向：如果未满足收敛条件，使用共轭关系更新搜索方向d_{k+1}。 6. 迭代：返回步骤2，重复进行，直到满足收敛条件为止。 Matlab中实现共轭梯度法的代码可能包括如下几个函数： - 主函数，用于初始化和控制迭代过程。 - 一个用于线搜索的函数，以找到最佳步长。 - 一个用于计算下一个共轭方向的函数。 共轭梯度法是解决无约束优化问题的重要工具，尤其在处理大规模稀疏系统时，它的优越性更为明显。不过，它主要适用于二次可微的目标函数，对于非二次或者非凸的函数，其性能可能会大打折扣。此外，共轭梯度法的某些变种，如预处理共轭梯度法、带重启的共轭梯度法等，也在特定情况下被用来改进算法的性能。