树状数组：区间和与最值维护解析

"这篇刷题笔记主要探讨了如何使用树状数组（也称为二进制索引树）来维护区间内的求和与求最值问题。笔记内容涉及到树状数组的基本操作，包括区间和的维护、区间最值的维护以及在有单点修改情况下的处理方法。" 树状数组是一种数据结构，它能够在常数时间内完成对区间元素的累加或求最值等操作，广泛应用于动态区间查询和修改问题。以下是关于树状数组的一些关键知识点： 1. **区间和的维护**： - 树状数组`trees`中，`trees[x]`存储的是从`x-lowbit(x)+1`到`x`的元素之和，其中`lowbit(x)`表示`x`的最低位1的二进制表示。 - 更新区间和时，通过`while(x<=n)`循环，每次将`k`累加到`trees[x]`，然后用`x+=lowbit(x)`找到父节点进行更新。 - 查询区间[l,r]的和时，通过`while(x)`循环累加`trees[x]`到结果`ans`，然后用`x=x-lowbit(x)`找到前驱节点。 2. **区间最值的维护**： - 区间最值的维护比求和复杂，因为最值没有加和性。 - 在树状数组不变的情况下，可以沿用维护区间和的`tadd`函数，但每次需要改为`trees[x]=max(trees[x],k)`。 - 对于有单点修改的情况，直接使用`tadd()`可能会导致最大值无法正确更新，因为可能存在的更大值不会被覆盖。 3. **单点修改的处理**： - 当某个点`x`被修改时，需要先手动更新`a[x]`，然后调用`update(x)`更新树状数组。 - `update`函数中，`x`会影响到`x-1`、`x-2`...`x-2^k`，其中`2*k<lowbit(x)`且`2*k+1≥lowbit(x)`。 - 使用`for`循环更新`trees[x]`，复杂度为`O((nlogn)^2)`，通常不推荐在实际应用中使用，因为效率较低。 4. **静态区间最值维护**： - 静态区间最值维护是指在建立树状数组后，不再进行更新操作，适用于区间内的最值查询。 - 查询时，由于最大值没有区间可减性，不能直接用前缀和相减，需要遍历树状数组找到区间内的最大值。 5. **树状数组的构建**： - 构建树状数组的过程与维护区间和类似，逐个处理每个元素，进行相应的累加操作。 - 一旦构建完成，树状数组可以快速查询区间和或区间最值，但在有修改需求时，需要按照上述单点修改的方法进行更新。 树状数组作为一种高效的数据结构，对于解决动态区间查询问题有着重要作用。在实际编程竞赛或算法题目中，理解并熟练运用树状数组能够帮助我们快速解决问题。