Logistic Regression: 极大似然选择与sigmoid函数解析

Logistic Regression是一种广泛应用于二分类问题的统计模型，它基于概率论中的伯努利分布假设，认为输入特征与输出类别之间存在一定的线性关系，通过sigmoid函数将线性结果转换为介于0和1之间的概率估计。sigmoid函数的选择是为了确保输出的概率在合理范围内，并且便于数学处理。 损失函数是评估模型性能的关键，LR使用极大似然函数作为其优化目标，这个选择源于其自然的优化倾向。极大似然函数的目标是最大化所有样本的预测概率之积，这样每个样本都被赋予了最大的可能性，从而更好地反映了模型的预测性能。对数似然函数是极大似然函数的对数形式，它在求解过程中表现出较好的计算效率，梯度更新仅依赖于输入特征x和实际标签y，这使得算法的收敛性和稳定性得以提高。 与平方损失函数相比，后者在sigmoid函数下可能会导致梯度更新速度减慢，因为sigmoid函数的导数在定义域内有上限，这限制了优化过程。此外，平方损失使得损失函数对参数θ是非凸的，这意味着在局部最优处可能不是全局最优，而对数损失函数由于其凸性，有助于找到全局最小值。 常见的其他损失函数，如0-1损失、绝对值损失、平方损失、对数损失（即逻辑损失）、Hinge损失和指数损失，各有其适用场景和特点。例如，0-1损失适用于简单分类问题，而Hinge损失则更适合支持向量机(SVM)的结构风险最小化。这些损失函数的图形特性也影响了模型的训练策略和性能。 总结来说，Logistic Regression之所以选择极大似然函数，是出于对模型预测准确性的追求，以及对数损失函数在优化上的优势。这种选择对于保证模型在二分类问题中的稳定性和有效性至关重要。同时，理解不同损失函数的性质和适用场景，有助于在实际应用中根据问题特性和需求做出最佳选择。