图论基础：路径定义与无向图关键概念

本章节主要讨论了图论中的基础概念和性质，包括图的路径定义、顶点与边的数量关系、连通性、有向图的特点以及图的表示方法。以下是详细的知识点： 1. **路径定义**：路径在图论中指由顶点和相邻顶点通过边相连形成的序列，选项A正确，即由顶点和相邻顶点的边构成的序列。 2. **无向图边数上限**：一个无向图如果有n个顶点，最多可以有n(n-1)/2条边，这是根据组合数学中握手定理得出的结论，选项B是正确的。 3. **连通无向图边数下限**：一个连通无向图的边数至少为n-1，因为最简单的连通图是树形结构，最少需要n-1条边来连接所有顶点。 4. **有向图连通性**：要使有向图连通，至少需要n条边，因为每条边都是一对方向相反的弧，至少需要n对才能确保每个顶点都能到达其他任意顶点，选项B正确。 5. **完全有向图边数**：对于n个节点的完全有向图，每对不同的节点之间都有一条边，所以边的数目为n*(n-1)，选项D是错误的，正确答案是B，即n*(n+1)。 6. **连通分量**：一个有n个节点的图最少有1个连通分量，即所有节点构成一个连通子图，最多有n个连通分量，当每个节点都是独立的。 7. **图的度数和边数**：在无向图中，所有顶点的度数之和是边数的两倍，而在有向图中，所有顶点的入度之和等于出度之和，选项B正确。 8. **有向无环图(DAG)表达式表示**：表达式(A+B)*((A+B)/A)的有向无环图至少需要5个顶点来表示，因为至少需要三个顶点分别代表A、B和表达式的整体，选项A正确。 9. **DFS遍历顺序**：深度优先搜索(DFS)在无环有向图中的输出序列是拓扑有序的，即顶点的访问顺序符合有向图的拓扑结构，选项B正确。 10. **图的表示法**：对于稀疏图，邻接表和逆邻接表是最节省空间的表示方法，邻接表适合无向图，而逆邻接表更适合有向图，因此答案分别为E和B。 11. **邻接矩阵对称性**：只有无向图的邻接矩阵是对称的，因为无向图的边是双向的，选项B正确。 12. **邻接矩阵信息**：邻接矩阵的行和列对应顶点数量，因此无向图的邻接矩阵的顶点数可通过矩阵大小得出，如果矩阵是3x3，则有3个顶点；如果是有向图，则邻接矩阵非对称，但可以通过矩阵的非零元素数得出弧的总数，如果是无向图，则非零元素数就是边的数目。 以上知识点覆盖了图论中的基本概念，有助于理解图的结构和性质，以及在实际问题中如何运用这些概念进行分析和设计。