电子科大数值分析课后习题详解：插值算法解析

"该资源是关于数值分析课程的课后习题答案，主要涉及插值多项式相关的计算和理论，适合电子科大的学生参考学习。" 在数值分析中，插值是一项基本且重要的任务，其目标是找到一个多项式函数，使得这个函数在特定的离散点上精确匹配给定的函数值。这部分内容主要讨论了两种插值方法：Lagrange插值和Newton插值。 1. Lagrange插值法： Lagrange插值公式用于构建一个多项式，通过给定的n个数据点（x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn))。在这个例子中，求解的是经过A(0,1)，B(1,2)，C(2,3)三个点的二次插值多项式。Lagrange插值公式利用基多项式Lki(x)构建插值多项式，其中Lki(x) = (x - xj) / (xi - xj)，i ≠ j。将这些基多项式乘以相应的函数值并求和，即可得到插值多项式。 2. Newton插值法： Newton插值公式基于差商的概念，它构造了一个多项式，使得在每个数据点上的差商等于给定的函数值。对于三次插值多项式P3(x)，我们需要构造一个四阶的差商表。在这个例子中，给出了函数y = f(x)在x=0, 1, 2, 3处的值，通过计算差商，我们可以根据Newton插值公式建立P3(x)。 3. 多重零点的处理： 如果存在多重零点，例如x=0是二重零点，我们可以选择一个适当的多项式形式，如H3(x)=x2(ax+b)，来更好地适应这种情况。然后利用给定的数据点来求解a和b的值，从而确定多项式。 4. 高阶连续性： 当插值函数f(x)在区间[x0, x1]上具有2阶连续导数时，这意味着插值多项式不仅需要在给定点上匹配函数值，还需要匹配一阶和二阶导数。这通常涉及到 Hermite 插值或者牛顿-基尔霍夫插值，通过引入高阶导数的信息来提升插值多项式的精度。 总结来说，这个资源提供了数值分析中插值理论的实践应用，包括Lagrange和Newton插值方法，以及如何处理多重零点和考虑函数的连续性。对于学习数值分析的学生，理解并掌握这些内容对于解决实际问题和理解插值的本质至关重要。