清华大学高等数值分析课后答案解析

"该资源是清华大学高等数值分析课程的课后习题答案解析，主要涉及数值分析中的矩阵存储优化、正定矩阵的Cholesky分解、LDL分解以及特征值问题的处理方法，同时提到了二分法在数值计算中的应用和Householder变换在矩阵对角化中的作用。" 在数值分析领域，矩阵的高效存储和运算优化至关重要。题目中提到，对于一个给定的矩阵，只存储下三角及对角线元素即可，这是因为在许多情况下，如求解线性系统或进行矩阵分解时，只需要这些元素。这种存储方式可以大大节省内存，提高计算效率。 正定矩阵是数值分析中的重要概念，它具有许多优良性质。题目指出，正定矩阵A可以分解为\( A = LL^T \)，这里的L是对称下三角矩阵，这个过程称为Cholesky分解。Cholesky分解在求解线性方程组、计算矩阵函数等方面有着广泛应用。利用Cholesky分解，可以将\( Ax = b \)的求解转化为两个下三角矩阵的 backsolve 操作，大大减少了计算复杂度。 接着，题目提到了 LDL 分解，即\( A = L D L^T \)，其中D是对角矩阵，L是单位下三角矩阵。这种分解常用于正定矩阵，且在处理稀疏矩阵时更为有效，因为它可以减少存储和计算的需求。通过观察 LDL 分解的公式，可以看出它是 Cholesky 分解的扩展，适用于非对称但对角占优的矩阵。 在特征值问题中，通过 LDL 分解可以判断矩阵A的特征值的个数。如果在分解过程中，D矩阵的对角元素\( d_{jj} \)满足\( d_{jj} > 0 \)，则对应的\( A - \lambda I \)（其中\( \lambda \)是特征值，I是单位矩阵）是非奇异的，表明\( A \)有一个正特征值。题目中提到的方法是计算\( A - aI \)和\( A - bI \)的 LDL 分解，通过比较D矩阵非负对角元素的个数来估算特征值所在的区间。 此外，题目还提及了二分法在构造算法中的应用，二分法是一种常见的数值搜索技术，常用于寻找根或解决优化问题。在特征值计算中，结合二分法可以更有效地逼近特征值，特别是当其他直接方法难以应用时。 最后，Householder变换在数值线性代数中用于简化矩阵，尤其是进行QR分解。题目中的1.2.2部分可能指的是Householder变换可以将一个矩阵转化为两块，一块是对角矩阵，另一块是具有特定形式的矩阵，这对于矩阵的对角化和简化计算非常有用。 这个资源涵盖了数值分析中的矩阵存储策略、正定矩阵的分解方法、特征值计算的技巧以及数值算法设计中的二分法和Householder变换，是学习和理解数值分析核心概念的重要参考资料。