DAG图与拓扑排序：AOV网及其在工程中的应用

拓扑排序是数据结构第七章中的一个重要概念，主要针对的是无回环的有向无环图(DAG)，这种图在计算机系统、工程管理和经济学等领域具有广泛应用。AOV网是拓扑排序的一个实际应用场景，用于描述活动之间的顺序依赖关系，例如工程项目的进度安排。 首先，图的定义是数据结构的基本组成部分，由顶点集V和边集E构成，可以表示为G=(V,E)。有向图的特点是每条边都有明确的方向，如弧<v0,v1>表示从顶点v0到v1的有向边，顶点v0称为弧尾，v1称为弧头。无向图则是边没有方向，如(u,v)表示u和v之间存在双向连接。 在图的存储结构方面，图的表示方式可以多样化，如邻接矩阵、邻接表等，这些结构的选择取决于具体的算法需求和图的特性。对于大规模图，邻接表更节省空间，对于稠密图，邻接矩阵可能更为合适。 图的遍历包括深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)，它们分别按照深度或宽度来探索图的节点，有助于查找路径、连通分量等信息。生成树是图中连接所有顶点的子图，且恰好包含边的数量比顶点少一条，它在许多场景下用于简化图结构。 最短路径问题是图论中的经典问题，如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法用于在有向图或无向图中找到两点之间的最短路径。在有向无环图中，拓扑排序则能提供一种解决顺序依赖问题的方法，通过将顶点按照一定的顺序排列，使得对于任意一条有向边<u, v>，u总是出现在v之前。 在拓扑排序中，一个关键的概念是顶点的度，无向图中度是指与该顶点相连的边的数量，而在有向图中，区分了入度（指向该顶点的边）和出度（由该顶点出发的边）。在有向图中，所有顶点的度数总和等于边数的两倍。 最后，习题中提到的路径是图中的一个基本概念，指的是由一系列相邻顶点组成的序列，且每对连续顶点间有一条边相连。在拓扑排序中，找到一个有向图的拓扑序列意味着确定了一个活动的执行顺序，使得所有活动都能按照依赖关系完成。 总结来说，拓扑排序是数据结构中的一个重要技巧，它在处理有向无环图中的依赖关系时非常实用，而图的其他概念和算法如图的存储结构、遍历、生成树、最短路径等都是理解拓扑排序的基础。实际应用中，理解并灵活运用这些概念和技术能够帮助我们有效地解决各种与图相关的问题。