线性变换详解：从矩阵到仿射变换

"这篇内容是《Introduction to Linear Algebra》第五版第8.1章节的中文翻译，主要讨论了线性变换的概念和性质。" 在数学领域，线性代数是研究向量、矩阵以及它们之间的关系的一个核心分支。在本章节中，作者详细介绍了线性变换的基本概念和特性。线性变换T是一个操作，它将一个向量v映射到另一个向量T(v)，并且满足线性性质，即对于任意常数c和d以及向量v和w，有T(cv + dw) = cT(v) + dT(w)。这一性质确保了变换的连续性和一致性。特别地，如果T作用于零向量，那么T(0) = 0。 线性变换可以发生在不同的空间中，例如欧几里得空间R^n、矩阵空间或是函数空间。其中，如果矩阵A是m×n的，那么乘以向量x的线性变换T(x) = Ax将R^n中的向量映射到R^m。这种变换称为矩阵乘法，是线性变换的一种具体形式。 导数作为线性变换的一个例子，如果T(f) = df/dx，那么它是线性的，因为对任何函数f和常数c，都有T(cf) = cT(f)。积分T(f) = ∫x_0 f(t)dt可以看作是导数的逆运算，但不是严格的逆运算，因此被称为伪逆。 线性变换的乘积保持线性，这意味着如果S和T是两个线性变换，那么ST也是一个线性变换，因为(ST)(v) = S(T(v))。矩阵乘法就是这一原则的直观体现，当矩阵A乘以向量v时，得到新的向量Av，这个过程是线性的。 线性变换的关键性质包括加法保性和标量乘法保性，即对于所有向量v和w以及任意标量c，有T(v + w) = T(v) + T(w) 和 T(cv) = cT(v)。这些性质确保了线性变换不会改变向量空间的结构。然而，如果一个变换将固定向量u0加到每个向量上，如T(v) = v + u0，那么这个变换是非线性的，因为它不满足线性变换的定义。只有当u0 = 0时，这样的变换才成为恒等变换，是线性的，并且保持输入空间V与输出空间W相同。 当线性变换T与平移结合，形成T(v) = Av + u0的变换，这称为仿射变换。虽然T本身不是线性的，但仿射变换保留了线性特性的一些关键属性，比如直线的直性。在后续章节中，我们将进一步探讨线性变换如何影响几何图形，如直线和曲线的形状。 通过理解和掌握线性变换的基本概念和性质，我们可以更好地分析和解决涉及向量和矩阵的复杂问题，这对于工程、物理、计算机科学等领域具有重要的理论和实际意义。