Dijkstra算法详解：解决单源最短路径问题

"C++实现的Dijkstra算法介绍及其工作原理" Dijkstra算法是图论中的一个经典算法，由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻于1956年提出，主要用于解决单源最短路径问题。在赋权有向图或无向图中，该算法能够找到从源节点到所有其他节点的最短路径，形成一个最短路径树。Dijkstra算法通常在路由算法、网络优化以及许多其他依赖于最短路径计算的问题中扮演关键角色。 算法的核心思想是贪心策略，即每次扩展最短路径。它需要两个主要的数据结构：一个是距离数组`dis`，用来存储源节点到各节点的当前最短距离估计；另一个是已找到最短路径的顶点集合`T`，初始时仅包含源节点。 算法步骤如下： 1. 初始化：设置源节点的距离为0（`dis[source] = 0`），其他所有节点的距离为无穷大（表示未发现），并将源节点加入集合`T`。 2. 每一次迭代，从`dis`数组中选择当前未加入`T`集合且距离最小的节点`u`，将其加入`T`。 3. 更新与`u`相邻的节点`v`的距离。如果通过`u`到达`v`的距离比当前`dis[v]`更短，就更新`dis[v]`的值。 4. 重复步骤2和3，直到`T`集合包含了图中的所有节点。 Dijkstra算法的一个限制是它无法处理具有负权重的边。这是因为算法的贪心策略可能过早地固定了一些路径，从而错过了通过负权重边获得更短路径的机会。例如，在一个包含负权重边的图中，算法可能会选择一个暂时看起来较短但最终并非最短的路径。 以下是一个简单的Dijkstra算法应用实例： 假设我们有一个图，顶点分别为v1, v2, v3，边的权重分别为v1-v2: 3, v1-v3: 4, v2-v3: -2。如果从v1出发，初始`dis`数组为`[0, ∞, ∞]`，`T`集合为`{v1}`。算法执行如下： 1. 首先，v1到v3的距离最短，`dis[v3]`更新为4，`T`添加v3。 2. 接着，v1到v2的距离最短，`dis[v2]`更新为3，`T`添加v2。 3. 此时所有节点都在`T`中，算法结束。 在这个例子中，Dijkstra算法正确地找到了从v1到其他节点的最短路径，即v1-v3: 4, v1-v2: 3。 在C++中实现Dijkstra算法，通常会使用优先队列（如`std::priority_queue`）来快速找到距离最小的节点。同时，使用邻接表而非邻接矩阵可以节省空间，特别是对于稀疏图。在实际应用中，为了提高效率，还可以使用启发式方法（如A*算法）来指导搜索，尤其是在大型图中。 Dijkstra算法是一种高效且广泛应用的图算法，适用于解决寻找图中单源最短路径的问题。然而，对于包含负权重边的图，应当使用其他算法，如Bellman-Ford算法，以确保找到正确的最短路径。