单变量线性回归详解：模型、代价函数与梯度下降

在【机器学习笔记】的第2章，我们深入探讨了单变量线性回归这一关键概念。本章主要围绕以下几个核心知识点展开： 1. **模型描述（Model representation）**： 单变量线性回归是监督学习中的一个基础模型，用于预测数值型输出。在这个模型中，我们通过一个假设函数hθ(x) = θ0 + θ1x，其中θ0和θ1是模型参数，x是输入变量（如房屋面积），目标是找到最佳参数组合来使预测值y尽可能接近实际房价y值。 2. **代价函数（Cost function）**： 选择合适的参数值是优化过程的关键。线性回归的目标是找到使所有数据点的预测值与真实值之差最小化的θ0和θ1。为此，我们定义了一个代价函数J(θ0, θ1)，也称为均方误差（MSE），它计算的是所有m个样本预测值与实际值的平均平方差，公式为J(θ0, θ1) = (1/(2m)) * Σ(hθ(x(i)) - y(i))^2。 3. **梯度下降（Gradient descent）**： 为了最小化代价函数，我们使用梯度下降法，这是一种迭代优化算法。它通过沿着代价函数曲面的负梯度方向更新参数，逐渐逼近全局最小值。对于线性回归，这涉及到对θ0和θ1的偏导数进行求解，以便调整参数以降低整体误差。 4. **线性回归的梯度下降（Gradient descent for linear regression）**： 在线性回归中，梯度下降的具体步骤包括计算代价函数关于θ0和θ1的梯度，然后根据学习率α（alpha）更新参数，直到达到收敛条件或达到预设的最大迭代次数。每次迭代后，θ0和θ1都会朝着降低代价的方向微调，最终得到一组最优参数，使得线性回归模型在训练数据上表现最佳。 总结来说，本章介绍了单变量线性回归的基本框架，包括如何构建模型、如何通过代价函数衡量模型性能以及如何使用梯度下降算法寻找最佳参数，这些都是后续更复杂机器学习模型理解和实践的基础。理解并掌握这些概念对于进行实际的预测任务至关重要。