MATLAB中的PLS算法实现与数学模型解析
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"这篇文档详细介绍了在MATLAB中如何实现偏最小二乘(PLS)算法,包括数学模型和函数的使用。文档内容涵盖了PLS算法的数学原理、实现过程及MATLAB中的plsregress函数相关参数的解释。"
PLS(Partial Least Squares)算法是一种多元统计分析方法,常用于变量众多且可能存在多重共线性的数据建模问题,如化学计量学、谱分析等领域。MATLAB中的`plsregress`函数提供了便捷的PLS算法实现。
PLS算法的核心在于寻找一组主成分(scores),这些主成分是由原始变量线性组合而成,并能最大化与响应变量的相关性。在MATLAB中,`plsregress`函数首先对输入数据进行中心化处理,但不进行标准化。算法的数学模型包括以下几个关键概念:
1. **得分(Scores)**:XL和YL分别表示光谱数据X和组分数据Y在主成分空间的投影,它们由原始数据乘以载荷向量得到。XL = X * XS,YL = Y * XS。
2. **载荷向量(Loadings)**:XS是光谱数据X的载荷向量,它与X0(中心化后的X)和XS之间的关系为XS = X0 * W,其中W是基于X0和Y0奇异值分解得到的。
3. **组分数据分解**:通过YS = Y0 * YL,可以表示Y0(中心化后的Y)在YS上的投影,YS是Y0在XL上的回归。
4. **迭代过程**:在迭代中,每个新载荷向量的计算都会考虑前一个载荷向量的影响,以确保XS' * YS为下三角矩阵,保持数据的正交性。
5. **回归系数**:通过一系列数学推导,可以建立组分值Y0与光谱数据X0之间的关系Y0 = X0 * B,其中B = C * (XL' * C)^(-1) * YL',C是X空间X0在Y得分空间YS上的投影。
6. **`plsregress`函数参数**:输入参数包括光谱数据X、组分数据Y和主成分个数ncomp。输出包括载荷向量XL和YL,得分XS和YS,回归系数BETA,方差解释百分比PCTVAR,平均平方误差估计MSE,以及包含更多信息的结构体stats。
7. **返回值**:XL是p * ncomp维,表示X的载荷向量;XS是n * ncomp维正交矩阵,表示样本的得分;YL是m * ncomp维,表示Y的载荷向量;YS是n * ncomp维,表示Y的得分;BETA是回归系数,用于预测未知样本的组分值;PCTVAR表示各主成分解释的总方差比例;MSE是平均平方误差,反映模型拟合优度;stats结构体包含更多的统计信息。
通过`plsregress`函数,用户可以方便地在MATLAB环境中构建和应用PLS模型,进行数据降维和变量选择,从而更好地理解复杂数据集中的关系。
2023-04-23 上传
2022-11-04 上传
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