MATLAB中的PLS算法实现与数学模型解析

"这篇文档详细介绍了在MATLAB中如何实现偏最小二乘(PLS)算法，包括数学模型和函数的使用。文档内容涵盖了PLS算法的数学原理、实现过程及MATLAB中的plsregress函数相关参数的解释。" PLS（Partial Least Squares）算法是一种多元统计分析方法，常用于变量众多且可能存在多重共线性的数据建模问题，如化学计量学、谱分析等领域。MATLAB中的`plsregress`函数提供了便捷的PLS算法实现。 PLS算法的核心在于寻找一组主成分（scores），这些主成分是由原始变量线性组合而成，并能最大化与响应变量的相关性。在MATLAB中，`plsregress`函数首先对输入数据进行中心化处理，但不进行标准化。算法的数学模型包括以下几个关键概念： 1. **得分（Scores）**：XL和YL分别表示光谱数据X和组分数据Y在主成分空间的投影，它们由原始数据乘以载荷向量得到。XL = X * XS，YL = Y * XS。 2. **载荷向量（Loadings）**：XS是光谱数据X的载荷向量，它与X0（中心化后的X）和XS之间的关系为XS = X0 * W，其中W是基于X0和Y0奇异值分解得到的。 3. **组分数据分解**：通过YS = Y0 * YL，可以表示Y0（中心化后的Y）在YS上的投影，YS是Y0在XL上的回归。 4. **迭代过程**：在迭代中，每个新载荷向量的计算都会考虑前一个载荷向量的影响，以确保XS' * YS为下三角矩阵，保持数据的正交性。 5. **回归系数**：通过一系列数学推导，可以建立组分值Y0与光谱数据X0之间的关系Y0 = X0 * B，其中B = C * (XL' * C)^(-1) * YL'，C是X空间X0在Y得分空间YS上的投影。 6. **`plsregress`函数参数**：输入参数包括光谱数据X、组分数据Y和主成分个数ncomp。输出包括载荷向量XL和YL，得分XS和YS，回归系数BETA，方差解释百分比PCTVAR，平均平方误差估计MSE，以及包含更多信息的结构体stats。 7. **返回值**：XL是p * ncomp维，表示X的载荷向量；XS是n * ncomp维正交矩阵，表示样本的得分；YL是m * ncomp维，表示Y的载荷向量；YS是n * ncomp维，表示Y的得分；BETA是回归系数，用于预测未知样本的组分值；PCTVAR表示各主成分解释的总方差比例；MSE是平均平方误差，反映模型拟合优度；stats结构体包含更多的统计信息。 通过`plsregress`函数，用户可以方便地在MATLAB环境中构建和应用PLS模型，进行数据降维和变量选择，从而更好地理解复杂数据集中的关系。