度量空间的formal balls偏序集与tensor完备化

"这篇论文是2010年发表在四川大学学报(自然科学版)上的，由赵红斌撰写，主要探讨了度量空间的formal balls构成的偏序集与域理论之间的联系，并涉及了n-范畴的tensor完备化问题。作者通过研究度量空间作为Ω-范畴时的情况，证明了formal balls的偏序集恰好是其tensor完备化的表现。该研究在数学领域，特别是0-范畴、Yoneda嵌入、张量积和张量完备化等概念上有重要意义。" 在数学中，度量空间是一类具有距离概念的集合，其中每个元素之间都有一个定义良好的距离函数。Formal balls是在度量空间中的一个重要概念，它指的是半径为r，中心为x的球形区域，即所有距离x不超过r的点的集合。这些formal balls组成的集合对于理解和分析度量空间的性质非常有用。 域理论则是一种研究部分有序集（poset）的数学理论，特别关注于那些具有上确界和下确界的poset。在这里，formal balls构成的偏序集是指，对于任何两个formal balls，如果一个ball完全包含在另一个ball内，则存在一种“小于或等于”的关系。这种偏序集为连接度量空间理论与域理论提供了一座桥梁。 文章提到了n-范畴，这是一种更一般化的范畴理论构造，其中的对象和箭头可以有多个层次的结构。在这里，作者关注的是Ω-范畴，这是一种特殊的n-范畴，其中的对象和箭头具有特定的性质。当度量空间被视为Ω-范畴时，其结构和性质可以通过范畴的语言来描述。 Tensor completion是范畴论中的一个概念，它涉及到将一个范畴转化为一个满足特定完备性的新范畴。在本文中，赵红斌证明了当度量空间被看作Ω-范畴时，由formal balls构成的偏序集就是这个度量空间的tensor completion。这一结果揭示了度量空间的内在结构，并可能对计算模型和形式化方法的发展有所启示。 Yoneda嵌入是范畴论中的一个基本工具，它将任何范畴C嵌入到其函子范畴[C,C]中，其中每个对象都是C的态射集，并且每个态射是自然变换。在这个上下文中，Yoneda嵌入可能用于将度量空间的结构映射到更丰富的环境，便于分析和理解。 这篇论文深入探讨了度量空间的结构，并利用范畴论的工具建立了formal balls偏序集与tensor completion之间的关系，这对于理解和应用度量空间理论以及域理论都有重要的理论价值和实践意义。