图论算法详解：欧拉回路与多米诺骨牌问题

"一本很好的图论算法书" 在图论中，多米诺骨牌问题实际上是一个典型的图遍历问题，可以转化为寻找是否存在欧拉回路。欧拉回路是指在一个图中，从某个顶点出发，沿着边行走，每条边恰好走过一次，最后回到起点的路径。解决这类问题通常涉及两种主要算法：深度优先搜索(DFS)和Fleury算法。 5.2.1 DFS 搜索求解欧拉回路 DFS是一种递归的图遍历策略，它从一个选定的顶点开始，尽可能深地搜索图的分支，直到达到预设条件（如所有边都被遍历过）为止。在解决欧拉回路问题时，DFS可以从一个合适的起点开始，尝试沿着边遍历，若遇到死胡同则回溯，直至找到一个满足欧拉回路条件的路径。DFS的优势在于其简单易懂的实现和对有向无环图(DAG)的支持。 以多米诺骨牌问题为例，每张骨牌可以看作是一个图中的节点，两个点数作为节点间的边。如果骨牌可以重新排列使得相邻骨牌的相邻段相等，那么这个图应该存在一个欧拉回路。DFS可以通过遍历所有可能的骨牌顺序，检查是否存在这样的排列，使得每两张相邻骨牌的相邻段都能匹配。 5.2.2 Fleury算法 Fleury算法是一种专门用于寻找图中欧拉回路的算法。它从图中的任意一个顶点开始，每次选择一条不破坏图的欧拉性质的边进行删除，直至图中只剩下一个顶点，此时所删除的边组合即构成一个欧拉回路。Fleury算法的关键在于如何选择这条不会破坏欧拉性质的边，这通常涉及到边的度数（一个顶点连接的边的数量）。 在多米诺骨牌问题中，虽然Fleury算法并不直接适用，但其思想可以帮助理解如何构造满足条件的骨牌序列。例如，我们可以尝试每次交换两张骨牌的位置，同时确保交换后的序列仍然满足相邻骨牌的相邻段相等，直到找到一个可行的解决方案。 这本书《图论算法理论、实现及应用》详细介绍了图论的基本概念、图的存储结构（邻接矩阵和邻接表）、图的遍历、树与生成树、最短路径、网络流等问题，这些都是图论中的核心概念。通过这些理论，读者不仅可以掌握算法的理论基础，还能学习到如何将这些理论应用于实际问题中，如ACM/ICPC竞赛中的经典题目。 多米诺骨牌问题是一个很好的实践图论算法的例子，它涉及到图的遍历、欧拉回路的寻找以及可能的图变换。通过学习和理解这些算法，不仅可以解决这类问题，还可以为其他更复杂的问题提供解决思路。无论是对于计算机专业的学生还是参加编程竞赛的选手，掌握图论算法都是极其重要的。