函数逼近与计算方法：误差最小化和Weierstrass定理

"该资源是一份关于函数逼近与计算方法的课件，主要探讨如何用简单函数，如多项式，来近似复杂函数，并确保误差最小。内容涉及函数逼近的基本概念，包括线性无关、线性空间的基、维数等，并引用了Weierstrass定理，以及用一组在线性空间内线性无关的函数集合进行逼近的方法。" 在函数逼近领域，我们常常面临的问题是如何用解析表达式较为简单的函数，如多项式，来替代实际应用中复杂的函数，同时保证近似误差尽可能小。这一过程称为函数逼近。课件中提到，插值法是函数逼近的一个例子，通过构造特定的多项式，使它在特定点上与原函数完全吻合，从而达到逼近的目的。 函数逼近的核心在于找到一个函数类B中的函数p(x)，使其在函数类A中的f(x)附近具有最小的误差。通常，B类函数可能是n次多项式、有理函数或是分段低次多项式，而A类函数则可能是一个在特定区间[a, b]上的连续函数。这里引入了连续函数空间C[a, b]和线性空间的概念，线性空间的基和维数是理解函数逼近的关键数学工具。 Weierstrass定理是函数逼近理论中的一个重要定理，它表明对于任何给定的连续函数f(x)在闭区间[a, b]上，总可以找到一个代数多项式p(x)，使得p(x)与f(x)的一致误差可以任意小。伯恩斯坦多项式是Weierstrass定理的一个具体构造，提供了实现这种逼近的实例。 函数逼近不仅限于单一的多项式，还可以扩展到一组在线性空间内线性无关的函数集合。这些函数可以构成逼近的子空间，通过选取子空间中的适当函数组合，可以使得逼近误差在某种度量意义下达到最小。 向量范数的定义在此背景下显得尤为重要，因为它提供了衡量函数间距离的标准，进而帮助我们在函数空间中找到最佳逼近。范数满足非负性、齐次性和三角不等式等性质，是优化问题和函数逼近问题中的核心概念。 这份课件详细介绍了函数逼近的基本理论和方法，涵盖了线性代数、泛函分析和数值计算等多个数学分支，为理解和应用函数逼近提供了一套完整的知识框架。