北航数值分析作业：幂法与反幂法求解特征值

"这是一个关于北航数值分析课程的大作业，主要涉及幂法和反幂法在求解最大、最小特征值以及模最小特征值的应用。代码实现了一个Doolittle分解的算法来辅助解决线性系统。" 在这个大作业中，学生需要掌握以下关键知识点： 1. **幂法（Power Method）**：幂法是一种用于求解实对称矩阵或复共轭矩阵最大模特征值和对应特征向量的迭代方法。基本思想是选取一个初始向量，通过不断乘以矩阵，使得每次迭代后向量的分量逐渐集中在最大特征值对应的特征向量方向上。经过足够多次迭代，可以逼近最大特征值。 2. **反幂法（Inverse Power Method）**：反幂法是幂法的一种变体，用于求解最小模特征值。在每次迭代时，不是直接乘以原矩阵，而是乘以矩阵的逆。通过调整预条件器，反幂法可以更有效地找到最小特征值。 3. **特征值与特征向量**：在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是矩阵乘以其对应向量后，仅改变缩放比例的解。特征值反映了矩阵的固有性质，而特征向量是与这些性质相对应的向量。 4. **Doolittle分解（Doolittle Factorization）**：Doolittle分解是LU分解的一种形式，将一个矩阵A分解为L（下三角矩阵）和U（上三角矩阵）的乘积，即A = LU。这种分解常用于求解线性方程组，可以简化计算过程。 5. **线性代数运算**：代码中涉及到矩阵的存储、初始化、以及矩阵运算，包括矩阵乘法、加法和减法。这些是进行数值计算的基础。 6. **条件数与稳定性**：在实际计算中，矩阵的条件数反映了其特征值的敏感性，条件数大的矩阵在计算过程中容易引起误差放大，影响算法的稳定性。在求解特征值时，选择合适的算法和预处理步骤可以改善计算稳定性。 7. **迭代收敛性**：幂法和反幂法的收敛速度取决于矩阵的性质。对于谱间隙较大的矩阵，它们能快速收敛；而对于谱间隙小的矩阵，可能需要更多的迭代次数。 8. **编程实践**：这段代码使用C语言实现，展示了如何将数值分析的理论知识转化为实际的程序，包括数据结构设计、循环优化以及函数封装等编程技巧。 在实际应用中，理解并熟练掌握这些概念和技术，对于解决工程和科学问题中的线性代数问题至关重要。