线性卷积与循环卷积：DFT与FFT在信号处理中的对比

本文主要探讨了线性卷积与循环卷积的区别，特别是在信号处理中的应用，特别关注于它们在离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）背景下。首先，线性卷积是两个序列逐点相乘并求和得到的结果，对于给定的两个序列x(n)和y(n)，如N=4的矩形序列和M=6的矩形序列，线性卷积会产生9个非零值，其特点是结果长度等于两序列长度之和减一。 而循环卷积是线性卷积的一种特殊情况，当两个序列通过模N运算后进行卷积，它在某些情况下会受到周期边界的影响。在本例中，当循环卷积的长度L不满足L ≥ N+M-1时，可能会导致混淆失真，例如L=6时（图d），fl(n)与f(n)之间存在显著差异。只有当L足够大，至少等于两个序列长度之和减一（图f），循环卷积才与线性卷积相匹配。 接着，文章引入了离散傅里叶变换的历史背景，由18世纪的数学家们如Bernoulli和Fourier的发展，特别是Fourier的工作，他证明了任何周期函数都可以用正弦函数的和表示，这是DFT理论的基础。尽管连续傅里叶变换（CTFT）有物理意义且理论完整，但DFT因其离散性和易于计算机处理的特点，在实际应用中更为实用，尤其是在数字信号处理中。 然而，早期由于计算机性能限制，DFT的计算效率不高，直到快速傅里叶变换（FFT）算法的提出，极大地提高了DFT的计算速度，使得它能够在现代数字信号处理系统中发挥关键作用。FFT利用了序列的周期性和对称性，实现了高效计算，尤其在处理大量数据时，其优势更为明显。 本文通过具体示例对比了线性卷积和循环卷积，并强调了离散傅里叶变换及其快速算法在解决此类问题中的核心地位。随着计算机技术的进步，DFT和FFT已经成为信号处理不可或缺的技术手段，它们在音频、图像、通信等领域扮演着至关重要的角色。