图论算法详解：从邻接矩阵到最短路径

"有向网及其邻接表存储表示，SPFA算法的求解过程，图论算法理论" 在图论中，有向网是一种特殊的图，其中的边具有方向性，即每条边都从一个顶点指向另一个顶点。这样的网络常用于表示流程、通信系统中的信号传输或其他有方向性的关系。邻接表是图的一种存储结构，特别适合处理稀疏图（边的数量远小于顶点数量的平方）。邻接表为每个顶点维护一个链表，链表中的每个节点代表与该顶点相连的其他顶点及其权重。 邻接矩阵则是另一种存储图的方法，它是一个二维数组，其中的元素表示顶点之间的边是否存在及其权重。对于有向图，邻接矩阵是对称的，因为每条边都有其反向边。然而，邻接表通常比邻接矩阵更节省空间，因为它仅存储实际存在的边。 SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）算法是求解有向图中最短路径的一种方法，主要用于解决贝尔曼-福特算法效率较低的问题。SPFA通过使用优先队列（通常为FIFO队列）来改进广度优先搜索，尝试快速找到负权边可能导致的最短路径。虽然SPFA不是确定性的，但通常在实践中效率较高，且在无负权环的情况下能保证找到最短路径。 在给定的代码片段中，定义了一个结构体`ArcNode`来表示有向图中的边，包括目标顶点`to`、边的权重`weight`以及指向下一个相邻边的指针`next`。此外，还使用了`queue<int>`来存储待处理的顶点序号，这是SPFA算法的核心部分。变量`n`表示顶点的数量。 本书《图论算法理论、实现及应用》由王桂平、王衍、任嘉辰编著，深入探讨了图论算法的理论基础和实际应用。书中涵盖了图论的基本概念，如图的存储结构（邻接矩阵和邻接表），以及各种图算法，如图的遍历、活动网络、树与生成树、最短路径、可行遍性、网络流、点集问题、图的连通性、平面图和图的着色等。这本书不仅适合计算机及相关专业的学生作为教材，也是ACM/ICPC竞赛的优秀参考书。 图论起源于欧拉解决的哥尼斯堡七桥问题，这个问题的抽象和解决开启了图论的研究。欧拉证明了对于一个给定的图，如果存在一条走过所有边的路径且每条边只经过一次，那么这个图必须满足特定条件。这个问题的解决方案奠定了图论的基础，并激发了后续对图的性质和算法的深入探索。