计算机视觉中的矩阵李群：3D刚体运动与李群理论

"《计算机视觉中的矩阵李群》是一份针对初学者的计算机视觉和代数问题的学习资料，特别关注李群和李代数在3D刚体运动表示中的应用。该文档经过多次修订，逐步完善了内容，包括3D旋转、刚体运动的表示、李群与李代数的关系、增量和导数表示，以及在视觉SLAM中的应用等。" 本文档深入浅出地介绍了3D刚体运动的数学表示，这对于理解计算机视觉中的空间变换至关重要。首先，1.1章节讨论了3D旋转，特别是在2D平面上的旋转，强调了右手定则在确定旋转正方向中的作用。旋转可以用旋转矩阵来描述，它将一个坐标系的基向量转换到另一个坐标系。 1.2章节探讨了旋转作用下固定点的坐标变换，说明了如何通过旋转矩阵将点从一个坐标系转换到另一个坐标系。1.3章节阐述了坐标系旋转与固定点坐标变换之间的关系，而1.4章节则综合了平移和旋转，介绍了刚体的整体运动表示，即位姿。 2.1章节介绍了李群的基本数学定义，这是描述连续变换群的一种工具。接着，文档详细讨论了反对称矩阵（2.2章节）、李代数（2.3章节）以及它们与SO(3)和SE(3)群的关系（2.4和2.5章节）。SO(3)代表3D旋转群，SE(3)则表示3D空间中的平移和旋转组合。2.6章节讲解了相似变换和Sim(3)群，并概述了李群与李代数的关系。 在3D运动表示的基础上，3.1和3.2章节进一步讨论了李群中的增量和导数表示，这对于理解和计算运动的微小变化极其重要。这些概念在计算机视觉中的SLAM（Simultaneous Localization And Mapping，同时定位与建图）问题中扮演着核心角色。 4.1至4.4章节具体展示了李群和李代数在实际应用中的价值，如重投影误差的导数计算（4.1）、光束平差法（4.2）、相似变换的计算（4.3）以及光测量误差最小化（4.4）。这些内容都是视觉SLAM算法中的关键组成部分，用于优化相机位姿和场景重建。 《计算机视觉中的矩阵李群》不仅提供了基础的数学工具，还将其与计算机视觉的实际问题紧密结合，是学习3D几何变换和高级视觉算法的宝贵资源。