3D刚体运动与矩阵李群在计算机视觉SLAM中的应用

"这篇文档是关于计算机视觉中矩阵李群的应用，主要讨论了3D刚体运动的表示、李群和李代数的概念，并探讨了它们在SLAM（Simultaneous Localization And Mapping，同时定位与建图）中的应用。作者为王京，来自清华大学自动化系。" 在计算机视觉领域，3D刚体运动的表示是核心概念之一。刚体运动包括旋转和平移两部分。当一个刚体（如物体或坐标系）在三维空间中旋转时，可以使用旋转矩阵来描述这种变化。旋转矩阵R是一个正交矩阵，其行列式为1，它描述了坐标系从初始位置旋转到新位置后，原坐标系中的单位向量如何变换为新坐标系中的向量。 刚体的旋转通常围绕一个固定轴进行，可以用欧拉角或者四元数来表示，但在矩阵形式下更便于进行数学操作。旋转作用下的固定点坐标变换可以通过将旋转矩阵与点的坐标相乘实现，左乘表示点随坐标系旋转，右乘表示坐标系随点旋转。 3D运动李群SE(3)是描述刚体运动的李群，它包含了所有可能的3D平移和旋转。李群是一个集合，其中的元素可以进行光滑的群运算，如矩阵乘法。SE(3)的李代数se(3)则包含了所有可能的运动增量，它是李群元素微小变化的集合，与李群相对应。 反对称矩阵在描述旋转时起到关键作用，因为刚体的旋转可以看作是绕某个轴的旋转向量，而这个旋转向量可以通过一个反对称矩阵来表示。李代数se(3)由3D平移向量和3D旋转向量组成，与李群SE(3)有着密切的关系，李代数的元素可以看作是李群元素的微小变化。 在视觉SLAM中，李群和李代数的概念被广泛应用于姿态估计和误差最小化。例如，重投影误差的导数计算涉及到了旋转和平移的微小变化，这是通过光束平差法（BA）进行优化的关键。通过最小化重投影误差，可以计算出相机的位姿更新，从而提高定位和地图构建的精度。 此外，文档还提到了光测量误差的最小化，这涉及到图像像素的亮度变化，是另一类优化问题。欧拉角与SO(3)的关系也有所提及，欧拉角是一种常用的3D旋转参数化方式，但它们在处理连续旋转时可能会有万向节死锁问题，因此在某些情况下，使用四元数或旋转矩阵更为方便。 这篇文档深入探讨了矩阵李群在3D刚体运动表示中的数学原理，并阐述了这些理论在计算机视觉和SLAM中的实际应用，对于理解这些领域的高级概念具有重要价值。