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1.5 位姿更新、左乘与右乘
假设世界坐标系
是固定的参考坐标系,
是一直在运动的当前相机坐标系,那么相机当
前时刻一个微小的运动(位姿运动更新),固连的坐标系运动到
,与上面
式一样有
即
齐次坐标
则
那么
也就是说,坐标系运动的位姿更新,是在原有位姿
基础上,右乘一个运动变化量
。
而点的坐标变换矩阵
满足
也就是说,点坐标变换的位姿表示,是在原有位姿
基础上,左乘变化量
。
如果不考虑几何运动关系,纯数学表示上
和
都是同样的形式。但是这两种不同的几何
含义下,更新方式却分为了左乘和右乘,数学处理手段也会不太一样。
由于计算机视觉中,对场景中固定点在不同坐标系下的转换用的比较多,所以很多时候默认
是
的形式,位姿的更新方式也默认是左乘的方式。
后面推导李群增量的优化形式也会按左乘方式进行,具体见下文。
2 3D 运动李群表示
2.1 李群基本数学定义
李群就是一个群,只是在此基础上要求是光滑(无限次可微)的,所以像整数群就不是一
个李群。
群是一个集合,以及在这个集合上定义的操作符 ,并且满足 4 个要求:
·封闭性:
·结合律:
·单位元:
·可逆性:
典型的(矩阵)群有
·一般线性群:
由所有 的可逆矩阵所构成,操作符为矩阵乘法,可以验证其满足 4 条群公理。显然,
其单位元是单位矩阵
,逆元素就是矩阵的逆。
·正交群:
这里面包括了旋转和镜像作用(分别满足
)
·特殊正交群:
代表了旋转作用(
中镜像作用,即
的部分,对矩阵乘法不封闭,不构成群)
·欧几里得群 Euclidean Group: