最小二乘法实现曲线拟合C++代码解析

"这篇资源是关于使用C++实现最小二乘法进行曲线拟合的实验报告，涵盖了数据、程序代码以及相关数学函数的实现。实验目的是通过最小二乘法找到最佳拟合曲线，以逼近给定的数据点。提供的数据点为n=2，m=5的一组坐标值，程序中包含了计算多项式系数的关键函数，如求和、计算X的幂次矩阵、构造系数矩阵A和求解向量b。" 在数值分析中，曲线拟合是一种常见的技术，用于寻找一条曲线或超曲面来近似离散数据点，以便能够通过数学模型描述这些数据的规律。最小二乘法是曲线拟合的一种有效方法，它通过最小化误差平方和来确定最佳拟合参数。在本实验中，最小二乘法被应用于多项式函数的拟合，目标是找到一个低阶多项式函数，使得该函数经过或者最接近给定的数据点。 首先，数据部分给出了n=2个独立变量的值（即x轴上的点），m=5个对应的因变量值（即y轴上的点）。这些数据点将被用来构建和解决线性方程组，以找到拟合多项式的系数。 程序中定义了一系列关键函数： 1. `Sum`函数：用于计算数组元素的和，这是计算矩阵元素的基础操作。 2. `Compute_X_Power`函数：生成每个数据点的各个幂次，形成一个矩阵 `_X_Power`，其中每一列代表一个数据点的幂次组合，从0到2n（对于n次多项式）。 3. `Compute_A_x`函数：构建系数矩阵 `_A_x`，它由 `_X_Power` 的乘积组成，矩阵对角线元素表示相同次数的项相加，非对角线元素表示不同次数项的组合。 4. `Compute_b`函数：根据数据点计算向量 `_b`，它是 `_A_x` 系数矩阵乘以 `_X_Power` 和因变量 `_y` 后的结果。 5. `Gauss_Elimination`函数：采用高斯消元法求解系数向量 `_a`，即解线性方程组 `[A_x][a]=[b]`，其中 `[A_x]` 是系数矩阵，`[a]` 是待求的系数向量，`[b]` 是已知向量。 整个过程的核心在于最小化残差平方和，也就是使得 `(y - f(x))^2` 的总和最小，其中 `y` 是实际观测值，`f(x)` 是拟合曲线的值。通过高斯消元法或其他线性代数方法，可以求得最小二乘解，从而得到拟合多项式的系数。 这个实验报告提供了一个具体的C++实现，对于学习者来说，不仅可以理解最小二乘法的原理，还能通过实际编程加深对算法的理解和应用。通过这样的实践，可以帮助学生掌握如何将理论知识转化为实际解决问题的工具。