非线性碰撞两自由度系统：Hopf分岔与混沌运动分析

"这篇学术论文探讨了一种受到周期性激励且具有单侧幅度约束的两自由度系统在强共振情况下的非线性碰撞混沌运动。文章重点研究了系统动力学，特别是周期运动的Hopf分岔现象。通过建立具有比例阻尼性质的振动冲击系统的庞加莱映射，分析了一类只有一个冲击的周期运动的稳定性。同时，确定了在两种强共振情况下，周期运动与Hopf分岔值的交点条件。应用中心流形定理将庞加莱映射简化为二维形式，并采用正常形式理论进行标准化。通过固定点的R-强共振中的Hopf分岔理论，分析了振动冲击系统在共振点附近的局部动态行为。理论分析结果通过数值解进行了验证，并通过数值模拟得到了两种强共振情况下的周期冲击到混沌的演化路径。" 本文详细分析了一个两自由度的振动冲击系统，在受到周期性激励时，由于单侧幅度限制，系统展现出复杂的动力学行为，特别是在强共振状态下的混沌运动。Hopf分岔是研究系统从稳定状态转变为周期性振荡的关键工具，它在文中被用来理解和预测系统动态行为的变化。作者首先建立了该系统的一个庞加莱映射，这是一种用于研究非周期动力系统的重要工具，尤其在研究碰撞和冲击事件时非常有用。 通过庞加莱映射和分析方法，作者考察了只有一个冲击的周期运动的稳定性。接着，确定了在两种不同类型的强共振情况下，周期运动与Hopf分岔的关联，即它们的交点条件。这一步是理解系统如何从简单行为过渡到复杂混沌行为的关键。 中心流形定理的应用进一步简化了庞加莱映射，使其降维为二维，便于后续的正常形式理论分析。通过这个理论，可以对系统的局部动态行为进行深入研究，特别是当系统接近共振点时的行为。 最后，通过数值模拟，作者展示了两种强共振情况下周期性冲击如何演变为混沌运动的路径。这些数值结果不仅验证了理论分析，还揭示了系统动态行为的丰富多样性，包括从有规则的周期运动到无序的混沌运动的过渡过程。 这篇论文为非线性动力学领域的研究提供了深入见解，特别是对于理解受约束系统在特定激励下的混沌行为，具有重要的理论价值和实际应用意义。