四阶导数理论的量子力学：归一化与正能量
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更新于2024-07-16
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"四阶导数理论的量子力学是一篇开放获取的文章，发表于Eur.Phys.J.C(2016)76:227，由Alberto Salvio和Alessandro Strumia等人撰写。文章探讨了在量子力学框架下，如何合理量化引力子的四阶微分动力学项，以克服经典理论中负无界能量的问题。通过引入具有不寻常时间反转奇偶性的规范坐标和相应量子算子的不寻常表示，他们构建了一个在负范数配置空间中拥有正能量本征值、可归一化波函数以及单位进化特性的理论。"
文章深入研究了四阶导数理论在量子力学中的应用，尤其是引力子的动力学行为。引力子是传递引力相互作用的基本粒子，通常其四阶微分动力学项会导致能量负无界，这是理论上的一个重大挑战。作者提出了一种新的量子化方法，使得这样的理论可以被重归一化，从而避免了经典理论中的不稳定问题。
关键点包括：
1. **四阶导数项的量子化**：文章指出，通过合适的量子化处理，原本可能导致负面能量的四阶导数引力子动力学项可以被合理地纳入量子力学框架。这一过程涉及到对引力子动力学的重新理解，以适应量子效应。
2. **时间反转奇偶性**：4导数的自由度与一种具有不寻常时间反转奇偶性的规范坐标相关联。这种奇偶性可能是解决负能问题的关键，因为它可能改变能量谱的性质，使其避免出现负无穷大。
3. **不寻常的量子算子表示**：为了适应这种新情况，量子算子必须采用一种非标准的表示方式，这可能是为了保持量子态的物理合理性和数学一致性。
4. **正能量本征值和可归一化波函数**：经过上述处理，理论中的波函数能够在负范数配置空间中保持正的能量本征值，同时波函数是可归一化的。这意味着理论的解符合量子力学的基本要求，即物理状态应有正定义的能量和有限的总概率。
5. **单位演化**：理论保证了量子系统的单位进化，这意味着物理系统的演化遵循保真度原则，不会因量子过程而失去信息或能量。
6. **开放获取**：该研究是开放获取的，可以在Springerlink.com上免费获取，这增加了研究结果的传播和后续讨论的可能性。
这篇论文为解决引力理论中的负能量问题提供了一个创新的量子力学视角，通过引入特定的规范坐标和量子算子表示，成功构造了一个稳定的、符合量子力学规则的四阶导数理论。这一工作对于理解和统一量子力学与广义相对论，以及可能的量子引力理论的发展具有重要意义。
Eur. Phys. J. C (2016) 76 :227 Page 3 of 15 227
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
˙q
1
={q
1
, H }=
∂ H
∂p
1
=
q
2
λ
, ˙p
1
={p
1
, H }=−
∂ H
∂q
1
=−ω
2
1
ω
2
2
q
1
− V
(q
1
),
˙q
2
={q
2
, H }=
∂ H
∂p
2
=−λ
2
p
2
, ˙p
2
={p
2
, H }=−
∂ H
∂q
2
=−
p
1
λ
+
ω
2
1
+ω
2
2
λ
2
q
2
.
(7)
For any λ they imply the classical Lagrangian equation of
motion. Setting V = 0, it is
d
2
dt
2
+ ω
2
1
d
2
dt
2
+ ω
2
2
q
=
d
4
q
dt
4
+ (ω
2
1
+ ω
2
2
)
d
2
q
dt
2
+ ω
2
1
ω
2
2
q = 0. (8)
The corresponding classical solution, for given initial condi-
tions q
0
, ˙q
0
, ¨q
0
,
...
q
0
at t = 0, is
q(t ) =−
ω
2
2
q
0
+¨q
0
ω
2
1
− ω
2
2
cos(ω
1
t) +
ω
2
1
q
0
+¨q
0
ω
2
1
− ω
2
2
cos(ω
2
t)
−
ω
2
2
˙q
0
+
...
q
0
ω
1
(ω
2
1
− ω
2
2
)
sin(ω
1
t) +
ω
2
1
˙q
0
+
...
q
0
ω
2
(ω
2
1
− ω
2
2
)
sin(ω
2
t).
(9)
This is a well-behaved oscillator without run-away issues
because the positive-energy and negative-energycomponents
are decoupled. Run-away solutions appear when they interact
through a generic interaction, such as a V = 0.
2.1 Quantizing the Ostrogradski Hamiltonian
The classical equation differs from the usual 2-derivative
equation d(q + ip)/dt = iω(q + ip), so that, trying to
quantize the theory, we do not define the usual annihilation
operator a
i
∝ q
i
+ip
i
. Rather, it is convenient to define the
operators a
i
as the coefficients of a given frequency:
q(t ) = a
1
e
−iω
1
t
+ a
2
e
−iω
2
t
+ h.c. (10)
The a
1
, a
2
can be expressed in terms of canonical Hamilto-
nian coordinates:
a
1
=
λω
1
ω
2
2
q
1
−iω
2
1
q
2
+ip
1
λ − ω
1
p
2
λ
2
2λω
1
(ω
2
2
− ω
2
1
)
, (11)
a
2
=
λω
2
1
ω
2
q
1
−iω
2
2
q
2
+ip
1
λ − ω
2
p
2
λ
2
2λω
2
(ω
2
1
− ω
2
2
)
. (12)
Using the canonical quantization [q
i
, p
j
]=iδ
ij
one finds
the commutation relations for the a
i
:
[˜a
1
, ˜a
†
1
]=−1, [˜a
2
, ˜a
†
2
]=1,
all other commutators vanish. (13)
having normalized ˜a
1
=
2ω
1
(ω
2
1
− ω
2
2
)a
1
and ˜a
2
=
2ω
2
(ω
2
1
− ω
2
2
)a
2
. The Hamiltonian is
H =−ω
1
˜a
1
˜a
†
1
+˜a
†
1
˜a
1
2
+ ω
2
˜a
2
˜a
†
2
+˜a
†
2
˜a
2
2
. (14)
The state 1 with higher frequency ω
1
>ω
2
is a ghost.
As better discussed later in Sect. 3.3, this system can be
quantized in two different ways:
1. Positive norm, negative energy One redefines ˜a
1
=˜a
†
1
,
such that it has the usual commutation [˜a
1
, ˜a
†
1
]=1.
The vacuum state |
˜
0 is defined as usual by ˜a
1
|
˜
0=0
and ˜a
2
|
˜
0=0. By solving this condition as a differential
equation for ψ
˜
0
(q
1
, q
2
) =q
1
, q
2
|
˜
0with p
i
=−i∂/∂q
i
one obtains the ground-state wavefunction:
ψ
˜
0
(q
1
, q
2
) = exp
−
q
2
1
ω
1
ω
2
+q
2
2
/λ
2
2
(ω
1
− ω
2
)
+iq
1
q
2
λ
ω
1
ω
2
. (15)
2. Negative norm, positive energy The vacuum is now
defined as a
1
|0=0 and a
2
|0=0. Using p
i
=−i∂/∂q
i
one obtains the ground-state wavefunction
ψ
0
(q
1
, q
2
) ∝ exp
−q
2
1
ω
1
ω
2
+q
2
2
/λ
2
2
(ω
1
+ ω
2
)
−iq
1
q
2
λ
ω
1
ω
2
. (16)
If λ = 1 the situation is bad, as emphasized by [16,17]: the
positive-norm quantization gives a normalizable wavefunc-
tion ψ
˜
0
but negative energies; the negative-norm quantiza-
tion gives a ground-state wavefunction not normalizable in
q
2
=˙q. Excited states have the same problem.
However, as we will show in Sect. 4, consistency requires
the negative-norm Dirac–Pauli representation of a canonical
coordinate which roughly amounts to choosing an imaginary
λ,e.g.λ =−i. One then obtains positive energy, negative
norm, and a wavefunction ψ
0
(q
1
, q
2
) normalizable in q
1
and
q
2
=−i ˙q. As we will now discuss, despite the strange i
factor, ˙q = iq
2
as well as the Ostrogradski Hamiltonian
H = iq
2
p
1
+···= ˙qp
1
+··· is self-adjoint, so that time
evolution is unitary.
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