中山大学娄定俊教授图论课程笔记概览

"中山大学图论课程，由娄定俊教授主讲，涵盖了图和子图、树、连通度、Euler环游、Hamilton圈、有向图、对集、边着色、独立集、顶点着色、平面图以及网络等主题。" 在图论这一数学领域中，【标题】"中山大学图论—娄定俊(1)1" 提到的第一章主要介绍了图的基本概念。【描述】中列举了章节的主要内容，包括图和子图的各个方面，如图的定义、图同构、顶点的度、关联矩阵与邻接矩阵、通路与回路以及图的连通性等。 1. **图和简单图**: 图是由顶点和边组成的结构，每个图由三部分组成：顶点集V(G)，边集E(G)，以及关联函数ψG，它将每条边映射到其连接的两个顶点。简单图不包含自环（边的一端和另一端是同一个顶点）和多重边（两个顶点之间有多条边）。 2. **图同构**: 如果两个图的结构完全相同，即它们的顶点可以一对一对应使得所有边关系保持不变，那么这两个图是同构的。同构意味着两个图的性质和特征本质上是相同的。 3. **子图**: 子图是原图中的一部分，包括原图的一些顶点和这些顶点之间的边。子图可以是原图的诱导子图，即包含所有与选定顶点相邻的边，或者可以是任意选择的顶点和边的组合。 4. **顶点的度**: 顶点的度是指与该顶点相连的边的数量。度可以是入度（进入该顶点的边数）和出度（离开该顶点的边数），在无向图中，度是两者之和。 5. **关联矩阵与邻接矩阵**: 关联矩阵是表示图中顶点间关系的矩阵，0表示无边，1表示有边。邻接矩阵是对称的，用于无向图，表示每对顶点之间是否存在边。 6. **通路与回路及图的连通性**: 通路是边的序列，连接一系列不同的顶点；回路则是从一个顶点出发又回到该顶点的通路。如果图中的任意两个顶点可以通过一系列通路相连，则图是连通的。 接下来的章节深入探讨了树、连通度、Euler环游、Hamilton圈、有向图、对集（匹配）、边着色、独立集、顶点着色、平面图和网络等概念。这些内容涉及图论的核心理论，包括树的性质（如割边、键、Cayley公式）、连通图的分解（块）、Menger定理、Euler环游和中国邮递员问题、Hamilton图、强连通有向图和竞赛图、对集的优化问题、Vizing定理、Turan定理、Brooks定理、平面图的Euler公式、平面图的判定算法以及网络流理论等。 通过学习这些内容，我们可以解决各种实际问题，如电路设计、网络路由、运输调度、资源分配和图的染色问题等。图论是计算机科学、运筹学、生物学、化学和许多其他领域的基础工具，具有广泛的应用价值。