边界干扰下Euler-Bernoulli梁稳定性：基于损坏位置反馈的动态控制

本文探讨了Euler-Bernoulli梁方程的稳定性问题，特别是在边界观测受到恒定干扰的情况下。Euler-Bernoulli梁是一种经典的数学模型，用于描述各种工程结构如桥梁、建筑物或机械臂等在受力下的振动行为。在实际应用中，由于传感器可能故障或受到外部因素的影响，边界条件的精确测量往往是不理想的。 研究的核心是设计一种动态边界控制器，该控制器仅依赖于位移测量来控制梁的运动，即使存在未知的扰动。这种控制器的目标是确保闭环系统能够在受到干扰时保持稳定，即确保系统的响应不会无限制地增长，而是趋向于一个稳态值或者衰减到一个有限范围内。 作者首先提出了研究背景和动机，考虑了如下的Euler-Bernoulli方程： \[ \begin{cases} u_{tt}(x,t) + u_{xxxx}(x,t) = 0, & \text{for } x \in (0,1), t > 0, \\ u(0,t) = u_{xx}(0,t), & \\ u_x(1,t) = u_{xx}(1,t) + w(t), & \text{with constant disturbance } w(t), \end{cases} \] 其中 \( u(x,t) \) 是梁在位置 \( x \) 和时间 \( t \) 的位移，\( u_{tt} \) 和 \( u_{xxxx} \) 分别表示位移关于时间和空间的二阶和四阶导数。主要的扰动 \( w(t) \) 作用在右端点 \( x=1 \)。 文章的主要贡献在于提出了一种控制策略，使得尽管边界位置的测量存在误差，仍能保证系统在控制作用下趋于渐近稳定。这表明，即使面对不确定性和干扰，通过精心设计的控制机制，系统能够恢复到稳定的运行状态，并且估计函数能够随着时间推移逐渐逼近扰动值。 作者的研究不仅在理论上有重要意义，对于实际工程问题具有实用性，因为它展示了如何在面临物理环境中的不确定性时，通过数据驱动的方法来维持结构的稳定性。这对于振动控制、自动化系统以及智能材料等领域都有着广泛的应用前景。