超庞加莱到加权Log-索伯里夫不等式与熵成本不等式

"From Super Poincaré to Weighted Log-Sobolev and Entropy-Cost Inequalities - 王凤雨" 这篇论文探讨了从超庞加莱不等式到加权Log-Sobolev不等式以及熵-成本不等式的理论转化。作者王凤雨是北京师范大学数学科学学院和英国斯旺西大学数学系的研究者。这篇论文的发表日期为2008年2月13日，并被标记为"首发论文"。 超庞加莱不等式（Super Poincaré Inequalities）是概率论和微分几何中的一个重要工具，它们在分析和理解概率测度的空间分布特性方面起着关键作用。这些不等式通常涉及到函数的梯度和平方的期望值，用于研究随机过程的收敛性以及马尔可夫半群的性质。 论文中，作者首先展示了如何利用超庞加莱不等式推导出加权Log-Sobolev不等式。Log-Sobolev不等式是一类重要的函数不等式，它涉及到测度空间上的概率密度函数，尤其是关于其熵和L2范数的关系。加权版本的Log-Sobolev不等式则是对标准形式的推广，其中引入了权重函数，使得不等式能够适应更广泛的情况。 接着，论文应用这些新的不等式来建立精确的运费不等式（Transportation Cost Inequalities），特别是针对具有强集中性的概率测度。运费不等式是概率论和优化理论中的一个重要概念，它描述了两个概率分布之间“运输”成本的下界，与测度的集中程度有关。 在Riemann流形的背景下，作者证明了当曲率下界存在时，log-δ-Sobolev不等式（δ在1和2之间）可以导出L2/(2-δ)-运输成本不等式。这意味着测度μ下的函数f的L2/(2-δ)运输成本与其相对熵（即flogf）的平方根之间存在某种比例关系。当相应的生成器的曲率下界非负时，这两种不等式是等价的。 此外，论文还讨论了在欧几里得空间Rd上一大类概率测度的加权Log-Sobolev不等式和熵-成本不等式。这扩展了这些不等式的应用范围，涵盖了更广泛的概率模型和几何结构。 论文的关键词包括：熵-成本不等式、超庞加莱不等式、加权Log-Sobolev不等式，表明其主要研究领域涉及概率论、微分几何和偏微分方程。 这篇论文在概率论和几何分析的交叉领域内提供了新的见解，对于理解复杂概率测度的行为和建立相关不等式之间的联系有着重要意义。这些结果不仅在理论上有价值，也可能在统计物理、信息理论和计算复杂性等领域有实际应用。