最小二乘法在单输入单输出系统参数辨识中的应用

"该文主要讨论了在已知模型结构的情况下，如何利用最小二乘法进行单输入-单输出系统参数的辨识。文中提到了离线辨识和在线辨识两种方法，其中离线辨识是将观测数据集合并处理以获取参数估值，而在线辨识则是通过递推计算在辨识过程中不断更新参数估计。文章以一个单输入-单输出线性定常系统的差分方程模型为例，详细阐述了如何应用最小二乘法来处理含有随机干扰的观测数据，以求得最优化的系统参数。" 在最小二乘法辨识中，目标是通过最小化实际输出与理论输出之间的误差平方和来估计系统参数。给定的输入信号\( u_k \)和理论上的输出值\( x_k \)，实际观测到的输出值\( y_k \)会受到随机干扰\( v_k \)的影响。线性定常系统的差分方程可以表示为一系列系数\( a_i \)和\( b_i \)的线性组合，其中\( n \)代表系统阶数。 系统模型为： \[ x_k = a_1 x_{k-1} + a_2 x_{k-2} + ... + a_n x_{k-n} + b_1 u_k + b_2 u_{k-1} + ... + b_n u_{k-n} \] \[ y_k = x_k + v_k \] 在实际应用中，由于存在观测误差\( v_k \)，实际观测到的输出\( y_k \)可以表示为： \[ y_k = a_1 x_{k-1} + a_2 x_{k-2} + ... + a_n x_{k-n} + b_1 u_k + b_2 u_{k-1} + ... + b_n u_{k-n} + v_k \] 为了找到最佳参数估计，需要最小化误差函数，即所有观测点的误差平方和： \[ E = \sum_{k=1}^{N}(y_k - a_1 x_{k-1} - a_2 x_{k-2} - ... - a_n x_{k-n} - b_1 u_k - b_2 u_{k-1} - ... - b_n u_{k-n})^2 \] 通过求解关于参数的偏导数并令其等于零，可以得到参数的最小二乘估计。对于离线辨识，这种方法一次性处理所有观测数据；而对于在线辨识，参数估计会在每个新观测点到来时进行更新，通过递推算法实现。 递推最小二乘法辨识（RLS，Recursive Least Squares）是一种在线辨识方法，它允许系统参数随着新数据的引入而实时更新，适用于实时或动态系统。RLS方法通常比离线辨识更适应系统状态的变化，但计算复杂度相对较高。 在多输入-多输出系统中，最小二乘法和递推最小二乘法可以扩展应用于更复杂的系统模型，例如导弹稳定系统的控制。通过这样的辨识技术，可以更好地理解和优化系统的动态性能，为控制系统设计提供准确的参数基础。