考研高数指南：函数、极限与连续性详解

本资源是一份针对考研学生的高等数学讲义，主要涵盖了第一章的内容，即函数、极限与连续性。以下是详细的知识点概述： 1. **函数的概念及表示法** - 函数是数学中的核心概念，它描述了两个变量之间的关系，其中自变量x的变化导致因变量y有唯一确定的值。 - 函数的表示法包括解析法（如公式表达）和图象表示，理解各种表示方式对于建立实际问题的函数关系至关重要。 2. **函数性质** - 有界性：函数在定义域内的值域是有界的。 - 单调性：函数在某区间上的增减趋势，包括单调递增、单调递减或常数函数。 - 周期性：函数值重复出现的规律，对于周期函数，特定周期内函数值有周期性变化。 - 奇偶性：函数关于原点或某直线对称的性质，如奇函数、偶函数和非奇非偶函数。 3. **复合函数、反函数与分段函数** - 复合函数是两个或多个函数的结合，理解复合函数的求导法则。 - 反函数是满足原函数与它的逆函数间关系的函数，学习如何求解和画出反函数的图像。 - 分段函数是由不同部分规则定义的函数，处理这类函数时需考虑不同区间内的行为。 4. **基本初等函数** - 如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，掌握其性质和图形，这是后续分析和微积分的基础。 5. **极限与函数极限** - 极限定义为函数值无限接近某个值的过程，包括数列极限和函数极限。 - 学习左极限和右极限的概念，以及它们与函数极限的关系。 - 了解极限的四则运算法则，极限存在的准则，特别是单调有界准则和夹逼准则，以及重要极限公式。 6. **无穷小量与无穷大量** - 定义这两个概念，以及它们在极限过程中的作用，如何比较无穷小量。 - 了解无穷小量在求极限时的应用，尤其是等价无穷小量的概念及其在运算中的使用。 7. **函数连续性与间断点** - 连续性定义，包括左连续和右连续，以及间断点的分类。 - 闭区间上连续函数的性质，如有界性、最值定理和介值定理。 课前预习和知识精讲部分强调了对概念的理解和实践应用，通过实例帮助学生掌握理论知识，并能运用到实际问题中。这份讲义对于准备考研的学生来说，提供了系统且深入的数学基础，有助于提升他们的解题能力和应对考试的能力。