优化版素数筛算法详解与实现

"这篇学习笔记主要探讨了两种经典的素数筛选算法：素数筛和线性筛，它们在解决素数查找问题时具有较高的效率。筛选算法的核心思想是通过标记技术来减少不必要的计算，从而提高算法性能。" 在素数筛选算法中，我们通常关注的是如何有效地找出一个给定范围内的所有素数。这里提到了两种基本的实现方法：暴力枚举和优化后的筛选算法。 1. 暴力枚举： 这是最直观的方法，对于每个数字i（2到MAX_N），我们检查它是否能被小于等于其平方根的任何数整除。如果可以，那么i不是素数，否则是素数。这种方法的时间复杂度为O(N * logN)，因为每个数都要进行logN次比较。然而，这种方法效率较低，不适合处理大数据。 2. 素数筛（Sieve of Eratosthenes）： - 版本1：此版本首先假设所有数字都是素数，然后从2开始，依次将2的倍数标记为合数，接着是3的倍数，直到sqrt(MAX_N)。每次只对未被标记过的数（即素数）进行操作。最后未被标记的数就是素数。这种方法的时间复杂度为O(N log log N)，优于暴力枚举。 - 版本2：在此基础上进一步优化，不再需要额外的计数变量cnt，而是直接将素数存储在数组的前面，只需遍历数组的前部分即可获取所有素数。 - 版本3：更进一步，甚至可以不创建额外的计数变量，直接利用数组下标作为素数的计数，使得代码更加简洁。 3. 线性筛（Linear Sieve）： 线性筛是在素数筛的基础上，进一步减少了空间复杂度。虽然这里的代码没有展示线性筛的具体实现，但它的基本思想是在筛法过程中只保留当前处理的最小素数，避免了使用大数组来存储所有素数。这使得空间复杂度接近线性，同时保持了时间复杂度为O(N log log N)。 在实际编程中，尤其是面对大规模数据时，选择高效的素数筛选算法至关重要。素数筛和线性筛都是优秀的解决方案，它们能够以较低的时间复杂度和适当的空间复杂度找到所有素数。理解并熟练掌握这些算法对于提升编程能力、优化算法性能有着显著的作用。