运筹学解指派问题：从多项式方程到最优效率策略

本文主要探讨了解多项式方程在运筹学中的应用，特别是与指派问题相关的概念和方法。通过实例介绍了如何使用MATLAB中的`compan`函数和`roots`函数来求解多项式的特征值和根。 解多项式方程在运筹学中的一个重要应用是解决指派问题。指派问题是一个典型的线性规划问题，通常涉及将有限数量的人员或资源有效地分配到等数量的任务或项目中，以最大化效率或最小化成本。在实际问题中，这可能包括调度工人完成任务、分配车辆运输货物或者匹配医生与病人等。 指派问题的核心在于每项任务只能由一个人来完成，且每个人只能做一件事。为了量化问题，我们可以建立一个效率矩阵A，其中a_ij 表示第i个人完成第j项任务所需的时间。目标是找到一种指派方式，使得总工时z（即所有任务的完成时间之和）最小。 在解决指派问题时，有几种策略和定理可以帮助我们找到最优解。例如，可以通过在效率矩阵中增加常数，改变每一行或每一列的元素，而最优指派不会因这些变化而改变。这是因为增加常数只会均匀影响所有可能的指派，但最优解依然会是最节省时间的方案。 另一个关键点是寻找并消除覆盖0元，即在效率矩阵中找到只出现一次的0元素，并将其作为指派。若无法直接找到这样的0元，可以尝试通过删除标记来逐步处理，直至所有元素都被标记或删除。如果在这一过程中，某一行或某一列的0元数量超过一个，可以选择具有最少0元的行或列开始，标记其中一个0元，同时删除其他0元。 当标记的0元达到n个时，意味着每行每列都有且仅有一个被标记的0元，此时可以构建一个最优解矩阵，将这些标记的0元替换为1，其他元素替换为0，从而得到指派问题的最优解。 在MATLAB中，`compan`函数用于构造对角占优的矩阵，这是计算特征值的一种方法，而`eig`函数用于求解这个矩阵的特征值。虽然在这里`eig`不是直接用于解指派问题，但特征值分析有时可以帮助理解系统的特性。另一方面，`roots`函数直接计算多项式的根，这些根在某些情况下可能与指派问题的解有关，尤其是在处理与多项式方程密切相关的优化问题时。 总结来说，运筹学中的指派问题是一种优化问题，通过有效的算法和数学工具，如效率矩阵和特定的矩阵操作，可以求得最优的人员与任务分配方案。在实际应用中，利用MATLAB等软件工具可以方便地求解这类问题，实现高效的资源配置。