纤维强度与拉伸倍数关系分析-线性最小二乘法

"该资源是关于数值分析课程的课件，着重讲解了线性最小二乘问题在曲线拟合中的应用。通过一个实际例子——分析纤维强度与拉伸倍数的关系，展示了如何利用最小二乘法对数据进行分析和建模。" 在实际的科学与工程领域，数据分析和曲线拟合是非常重要的工具。线性最小二乘法是解决这类问题的常用方法，尤其在处理数据点与理论模型之间存在偏差的情况下。在这个案例中，我们关注的是纤维的强度与其被拉伸的程度之间的关系。通过收集24个纤维样品的拉伸倍数和对应强度的数据，目标是找出一个数学模型来描述这种关系。 线性最小二乘问题通常涉及到找到一组系数，使得由这些系数构建的模型与实际观测数据的差距最小。在本课件中，这个问题被表述为求解残差向量的2-范数最小化问题。具体来说，我们有一个函数族，其中每个函数由系数向量α决定，我们要找的是一组α值，使得模型函数f(x, α)与数据点的偏差平方和最小。 对于给定的纤维强度数据，我们可以构建一个多项式模型，例如一次、二次或更高次的多项式。假设选择一个二次多项式模型，即f(x, α) = α1 + α2x + α3x^2，其中α1, α2, α3是待求的系数。线性最小二乘法的目标是找到这组α值，使得所有数据点到该二次曲线下方的垂直距离（即残差）的平方和最小。 为了解决这个问题，我们建立一个矩阵形式的方程组，其中A是包含所有数据点x的矩阵，b是对应强度的向量。最小二乘问题可以表示为求解最小化||Ax - b||^2的问题，这里的||·||表示2-范数。当方程组的列数（数据点数量）大于行数（模型参数数量）时，即m > n，我们得到一个超定系统，这是常见的实际问题情况。 通过求解矩阵A的伴随矩阵(A^TA)^(-1)A^T与b的乘积，我们可以得到系数向量α，从而得到拟合曲线。这个解也被称为方程组的最小二乘解。曲线拟合的目的不是让模型曲线完美地穿过每一个数据点，而是寻找一条能最好地捕捉数据总体趋势的曲线，这样可以用于预测未测量的点的行为。 在这个纤维强度的例子中，通过应用线性最小二乘法，我们可以得出一个最佳的二次多项式模型，它能有效描述拉伸倍数与纤维强度之间的关系。这样的模型可以帮助工程师或科学家理解材料性能，预测在不同拉伸条件下的强度，并可能指导新材料的设计或现有材料的优化。