Hessenberg-上三角分解的Rice条件数解析

"这篇文章是2003年发表在《南京邮电学院学报》上的自然科学论文，由李新秀和聂小兵合著。文章探讨了Hessenberg-上三角分解的Rice条件数，这是矩阵分析和线性代数领域的一个重要概念，涉及到矩阵在受到单参数扰动时其解的稳定性。作者运用Rice关于条件数的一般理论，通过解析展开和不动点定理来计算Frobenius范数定义的Rice条件数，并且证明了他们的结果与孙继广使用不同方法得到的结果一致。文章还提及了线性系统的可控性，以及与QR分解和Cholesky分解条件数相关的研究。" 文章深入研究了矩阵理论中的一个重要概念——条件数，这是衡量矩阵运算对输入数据微小变化敏感度的指标。Rice条件数提供了一种通用的方式来量化这种敏感性，特别是在单参数扰动的背景下。作者采用Rice的一般理论，为Hessenberg-上三角分解定义了条件数，这是一种特殊形式的矩阵分解，广泛应用于数值线性代数中。 Hessenberg-上三角分解是将一个矩阵转化为Hessenberg矩阵（除最后一行外，所有元素都在主对角线以下）和上三角矩阵的形式。这种分解有助于减少计算复杂性，特别是在求解特征值和特征向量的问题中。Rice条件数在此上下文中提供了对这种分解稳定性的分析。 文章通过解析展开（可能指的是泰勒级数或类似的分析工具）和不动点定理（一种在函数迭代中寻找固定点的数学工具），计算了Frobenius范数定义的Rice条件数的具体表达式。Frobenius范数是一种衡量矩阵元素总平方和的范数，它为条件数提供了直观的几何解释。 此外，论文还与线性控制理论相联系，提到了可控系统和矩阵的可控性。一个线性系统是否可控取决于特定的矩阵组合，如(M-1A,M-1b)，如果它是可控的，则原始系统(M,A,b)也被认为是可控的。这一概念在控制系统设计和稳定性分析中至关重要。 最后，文章引用了前人的工作，比如Wilkinson对单特征值条件数的研究，孙对于特征子空间条件数的定义，以及常小文在QR分解和Cholesky分解条件数上的贡献，表明了矩阵条件数研究的广泛性和多面性。 这篇论文为理解和计算Hessenberg-上三角分解的Rice条件数提供了新的视角，对矩阵分析和数值线性代数领域的研究具有重要意义。