离散系统状态可控性与定常系统能控观测性探讨

本文主要讨论的是线性系统中的两个关键特性——能控性和能观测性。能控性与能观测性是卡尔曼在1960年首次引入的概念，它们是系统在状态空间描述中的重要结构特征。能控性关注的是能否通过输入控制系统的所有状态，而能观测性则涉及能否通过输出测量来确定所有状态。 首先，文章以离散状态方程为例，解释了状态能控性的概念。例如，对于一个单输入离散系统，状态方程显示了输入如何影响状态的变化。然而，即使给出了初始状态和输入，状态变量可能仍然受到限制，比如只能在特定范围内周期变化，这意味着无法通过输入控制所有状态，这种情况被称为状态不完全可控或不可控。可控性与系统矩阵（描述系统动态的矩阵）和输入矩阵紧密相关，它是系统固有的性质。 在离散系统中，能控性问题包括判断是否存在一个控制输入序列，使得任何初始状态可以达到任意指定的状态。这需要分析系统矩阵的结构，特别是它与单位矩阵的交互。如果某状态不受输入的影响，即其列向量线性无关，则系统是不可控的。 对于定常系统，能控性和能观测性的判据可以从时变系统的特例中理解。能观测性判据涉及系统的输出是否足以唯一确定所有状态，即输出是否是状态的充分且唯一的线性组合。如果输出能唯一确定状态，那么系统就是能观测的。 接下来，文章将讨论输出能控性，这是一种更宽泛的概念，包括了状态能控性。输出能控性探讨的是能否通过选择适当的输入，不仅改变状态，还能通过输出来达到期望的效果。这部分内容通常会进一步分析多输入系统的情况，以及状态方程和输出方程如何共同决定系统的控制能力和观测能力。 本文的核心知识点包括： 1. 能控性和能观测性的基本概念及其在状态空间描述中的应用。 2. 单输入离散系统状态能控性的分析，通过实例说明控制受限的原因和判断标准。 3. 定常系统的能控性与能观测性判据，以及它们之间的关系。 4. 对输出能控性的扩展，特别是在多输入系统中的应用。 掌握这些概念有助于理解线性系统的设计、分析和控制，对于控制系统工程师和理论研究者来说至关重要。