计算机图形学：齐次坐标详解

"这篇资料是关于计算机图形学中的齐次坐标概念，主要来自湖北大学数计学院的一堂课程。齐次坐标是一种在计算机图形学中常见的坐标表示方式，它使用n+1维向量来表示n维空间中的点。这种表示方法具有不唯一性的特点，同一个n维点可以通过不同的齐次坐标表示。例如，二维空间中的点(2,3)可以表示为(1,1.5,0.5)、(4,6,2)或(6,9,3)等形式，只要比例因子h不为零。规范化的齐次坐标则是指h等于1的情况，即P[P1,P2,...,Pn,1]。从非规范化的齐次坐标转换到规范化的，可以通过除以最后一个分量h来实现，即P'[P1/h,P2/h,...,Pn/h,1]。" 正文: 计算机图形学是计算机科学领域的一个重要分支，涉及到图形的表示、生成、处理和显示等多个方面。齐次坐标作为一种关键的数学工具，在图形学中扮演着重要角色。齐次坐标系统允许我们以更灵活的方式表示和操作几何对象，特别是在变换计算中，如平移、旋转和缩放，它简化了矩阵运算。 齐次坐标的基本思想是将n维空间中的点P由一个n+1维向量P[hP1, hP2, ..., hPn, h]来表示，其中h是非零实数。这种表示方式的一个显著特点是其非唯一性。例如，二维平面内的点(2,3)可以用(1,1.5,0.5)、(4,6,2)或(6,9,3)等多种齐次坐标表示，因为这些向量在最后添加一个非零的h值后，都能通过适当的比例还原回原始的(2,3)点。当h取1时，我们得到的是规范化齐次坐标，形式为P[P1, P2, ..., Pn, 1]，这对于很多计算来说是特别方便的。 规范化齐次坐标简化了从齐次坐标到普通坐标的转换，只需将前n个分量除以第n+1个分量（即h），因为在这种情况下，h总是1。例如，如果有一个点表示为(4, 6, 2)，那么它的规范化坐标就是(2, 3, 1)，这对应于原二维坐标系中的点(2, 3)。 在计算机图形学的课程中，教师可能会讲解如何利用齐次坐标进行图形变换，如通过4x4的矩阵进行旋转、平移和缩放操作。这种表示方法使得矩阵乘法可以同时处理位置和方向，极大地简化了编程和计算。此外，齐次坐标对于处理无限远点和投影变换也十分有用，例如在视口变换和投影变换中。 学习计算机图形学时，学生通常会接触多种参考资料，如谢步瀛的《计算机绘图教程》、倪明田和吴良芝的《计算机图形学》、陈传波和陆枫的《计算机图形学基础》，以及Donald Hearn和M. Pauline Baker的《Computer Graphics》等经典教材。课程评估可能包括期末考试、平时表现和上机作业，鼓励学生积极参与课堂讨论，将理论知识与实际应用相结合。 齐次坐标是计算机图形学中一个核心的数学概念，它提供了表示和处理几何形状的高效手段，并在图形变换、无限远点处理和投影变换等方面发挥着重要作用。理解和掌握齐次坐标有助于深入理解计算机图形学的理论与实践。