多范畴与经典线性逻辑：双映射与Grothendieck构造的探索

该文研究了多范畴在解释经典线性逻辑中的作用，特别是乘法片段的解释。经典线性逻辑是一种逻辑系统，其特点在于处理资源和结构的精细方式，而多范畴则提供了一种构造逻辑模型的框架。文章讨论了在多范畴中构建经典线性逻辑模型的方法，这些模型依赖于具有特定泛性质的多映射，如张量、par和否定。 在多范畴理论中，多映射是连接不同范畴的关键工具，它们可以有多种不同的普适性质，这些性质在本文中被统一为一个概念——polymap的普适性，这不仅涵盖传统的多映射，还涉及输入和输出对象参数化的特殊情况。通过引入入卡多映射和出卡多映射的概念，作者展示了如何将这些普适性质与多范畴的加细系统（严格函子）相结合，进一步解释了多映射的特殊形式。 文章的核心成果之一是提出了一种条件，即一个多范畴是可表示的（即能够生成经典线性逻辑的模型）当且仅当它在终端多范畴上实现双分裂。这个条件提供了一种判断多范畴是否适合构造经典线性逻辑模型的标准。 此外，作者还探讨了多范畴和伪函子到MAdj（弱）2-多范畴的Grothendieck对应，这是一种构造，它将多范畴的理论与2-范畴的理论关联起来。当限制在这种对应的应用于双稳态情况时，它与Shulman先前的工作相吻合，Shulman的工作涉及MAdj上的弱多范畴。 关键词涉及的主题包括多范畴的理论、线性逻辑的结构、双振动的概念（可能是指逻辑操作的对偶性和交互），以及与Frobenius幺半群的联系。Frobenius幺半群在经典线性逻辑中扮演着重要角色，因为它们提供了描述复合和交换性质的数学结构。 这篇论文深入研究了多范畴和经典线性逻辑之间的关系，提供了新的理解和工具来构建和分析这些逻辑系统的模型。通过引入新概念和证明关键等价性，作者为这一领域的研究奠定了坚实的基础，对于理解逻辑在计算机科学、数学和其他领域中的应用具有重要意义。