概率论与数理统计教程习题与解答-第二版

"概率论与数理统计相关知识讲解，包括相关系数的正负判断、相关系数检验、回归方程的应用、最小二乘估计及无偏估计等内容，出自茆诗松等编著的《概率论与数理统计教程》配套参考书。" 在统计学中，相关系数是用来衡量两个变量之间线性关系强度和方向的指标。当r（相关系数）大于0时，表示正相关，意味着一个变量（z）增加，另一个变量（y）也会随之增加。相反，如果r小于0，则表示负相关，z增加时y会减少。若r等于0，并不意味着变量间没有关系，只是不存在线性关系，可能有非线性趋势。 相关系数的检验通常基于假设检验，设立零假设Ho（ρ=0），即认为两变量间没有线性相关，备择假设H1（ρ≠0），即认为存在线性相关。检验统计量r是样本相关系数，通过比较r的绝对值与临界值r1-a(n-2)，来决定是否拒绝零假设，这里的r1-a(n-2)是从r的分布中找到的1-α分位数。 此外，相关系数检验与F检验在一定程度上是等价的，可以通过r和F统计量之间的关系进行转换，即r=F/(1+F^2)^(1/2)，表明r是F的严格增函数。 回归方程在估计与预测中的应用十分广泛。给定自变量X=x0，可以通过回归方程估计因变量Y的期望值E(Yo)以及建立置信区间和预测区间。E(Yo)的点估计是β0+β1X0，而置信区间和预测区间则分别与标准误差δ和δ(x0)有关，它们的大小受样本量n、X的分散程度和方差的影响。增大n、增加X的分散性、使X0靠近β1的估计值，都能提高预测和置信区间的精度。 对于回归直线过原点的一元线性回归模型，最小二乘估计用来估计回归系数，即β的最小二乘估计为∑(x_i-μ_x)(y_i-μ_y)/∑(x_i-μ_x)^2，而无偏估计μ_Y的方差为σ^2/(n-2)。这种模型假设误差项的期望值为0，方差为常数，且各观测值相互独立。 这些知识出自于茆诗松、程依明、侯晓龙合著的《概率论与数理统计教程》的配套参考书，这本书提供了详尽的习题解答和深入讨论，有助于深化对概率论与数理统计概念和方法的理解。