数学建模中的插值技术：MATLAB实现

本文主要介绍了插值与拟合的概念及其在数学建模中的应用，特别提到了一维和二维插值。虽然Hermite插值在此处被略过，但主要讨论了一维插值方法，包括最邻近插值、线性插值（默认）、三次样条插值和立方插值。Runge现象也作为一个重要概念被提及，它是高次多项式插值时可能出现的振荡问题。此外，通过MATLAB软件进行了插值计算的示例，展示了如何使用`interp1`函数进行一维插值，并给出了实际应用的例子。 一维插值是寻找一个函数，使得该函数在给定的一组离散点上与原始数据完全匹配。MATLAB的`interp1`函数提供了多种插值方法，例如： 1. 'nearest'：最邻近插值，它将每个查询点映射到最近的数据点。 2. 'linear'：线性插值，通过两点间直线进行插值，这是缺省选项。 3. 'spline'：三次样条插值，提供平滑连续的一阶和二阶导数。 4. 'cubic'：立方插值，类似于三次样条插值，但在端点使用不同的边界条件。 Runge现象提醒我们在使用高次多项式插值时要注意，当插值点间距不均匀或者插值次数过高时，插值函数可能在数据点之间产生不必要的波动。 在给出的三个例子中，我们看到了插值方法的实际应用： - 例1展示了三次样条插值的效果，通过选取11个基点对函数 `g(x) = 1 / (1 + x^2)` 进行插值，插值后的函数图像与原函数非常接近。 - 例2涉及时间序列数据，通过插值估计每1/10小时的温度，使用`spline`方法处理12个观测点的温度数据。 - 例3是一个工程应用，插值用于计算飞机机翼下轮廓线上的点，对给定的数据点使用线性插值和三次样条插值，然后比较插值结果。 这些示例说明了插值在处理不均匀分布数据或需要连续光滑插值结果时的重要性，以及MATLAB作为工具的强大功能。插值方法的选择取决于应用场景，如数据特性、平滑度需求以及计算效率。