并查集详解：从链表到有根树实现

"并查集是一种用于处理集合合并与查找问题的经典数据结构，主要包含三个基本操作：Make-set、Union和Find-set。Make-set用于创建包含单一元素的新集合，Union用于合并两个集合，Find-set则用于查找元素所属的集合。在实际应用中，有两种常见的实现方式：链表实现和有根树实现。 对于链表实现的并查集，每个元素都指向其所在集合的句柄，使得Find-set操作可以在O(1)的时间复杂度内完成。然而，Union操作的效率取决于链表的长度。在进行合并时，采用加权合并策略，即将元素较少的链表接到元素较多的链表上，以减少元素的变动次数。因此，当平均元素个数为n时，Union操作的时间复杂度为O(n)。 为了解决Union操作的时间复杂度问题，引入了有根树的实现方式。有根树是每个元素都有一个指向父节点的parent指针，而不是像普通树那样父节点指向子节点。在这种结构下，Find-set依然可以在O(1)的时间内完成，因为可以直接沿着parent指针向上查找集合句柄。而Union操作则可以通过比较两个集合根节点的深度，将深度较浅的树接到深度较深的树上，确保树的高度保持较小，从而实现近乎O(1)的时间复杂度，通常被称为路径压缩或按秩合并。 在有根树实现的并查集中，合并S1={7,3,1,4}和S2={1,6}这两个集合时，首先找到两个集合的根节点（例如，假设1是S1的根，6是S2的根），然后将根节点较浅的集合（S2）的根节点（6）的parent指针指向S1的根节点（1）。这样，两个集合就被有效地合并为一个，同时保持了高效的查找和合并性能。 总结来说，并查集是一种高效处理集合操作的数据结构，通过链表或有根树的实现可以达到快速查找和合并的效果。在实际问题中，如网络连接、图形连通性等问题中，它能发挥重要作用，帮助我们快速判断元素之间的关联关系或者合并相关的部分。